Encontre a equação da reta intercessão dos planos x+y-3 z-5=0 e y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta que é a interseção dos planos e . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como duas superfícies planas se cruzam formando uma reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a reta de interseção entre dois planos pode ser encontrada resolvendo o sistema formado pelas equações desses planos. Ou seja, vamos resolver o sistema:
x + y - 3z - 5 = 0 y + z = 0

Passo 3

Vamos começar expressando uma das variáveis em termos das outras a partir de uma das equações. A segunda equação é mais simples, então vamos isolar y + z = 0 Rightarrow y = -z :

Passo 4

Agora que temos x + (-z) - 3z - 5 = 0 x - z - 3z - 5 = 0 x - 4z - 5 = 0 x = 4z + 5 , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar uma relação entre e :

Passo 5

Agora temos z = t y = -t x = 4t + 5 e expressos em termos de . Podemos parametrizar a reta usando uma variável livre, que vamos chamar de , onde . Assim:

Passo 6

Com essas expressões, podemos escrever a equação vetorial da reta. A forma vetorial é dada por:
r(t) = r0 + t cdot v
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor. Vamos identificar esses componentes:
  • Quando , temos , , . Então, .
  • O vetor diretor é dado pelos coeficientes de : .

Passo 7

Portanto, a equação vetorial da reta de interseção dos planos é:
r(t) = (5, 0, 0) + t cdot (4, -1, 1)
Ou, em forma paramétrica:
x = 5 + 4t y = -t z = t

Resposta

A equação da reta de interseção dos planos r(t) = (5, 0, 0) + t cdot (4, -1, 1) e x = 5 + 4t y = -t z = t é:
Ou, de forma paramétrica:

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