Encontre a equação da reta intercessão dos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta que é a interseção dos planos e . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como duas superfícies planas se cruzam formando uma reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a reta de interseção entre dois planos pode ser encontrada resolvendo o sistema formado pelas equações desses planos. Ou seja, vamos resolver o sistema:
Passo 3
Vamos começar expressando uma das variáveis em termos das outras a partir de uma das equações. A segunda equação é mais simples, então vamos isolar :
Passo 4
Agora que temos , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar uma relação entre e :
Passo 5
Agora temos e expressos em termos de . Podemos parametrizar a reta usando uma variável livre, que vamos chamar de , onde . Assim:
Passo 6
Com essas expressões, podemos escrever a equação vetorial da reta. A forma vetorial é dada por:
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor. Vamos identificar esses componentes:
Quando , temos , , . Então, .
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de : .
Passo 7
Portanto, a equação vetorial da reta de interseção dos planos é:
Ou, em forma paramétrica:
Resposta
A equação da reta de interseção dos planos r(t) = (5, 0, 0) + t cdot (4, -1, 1) e x = 5 + 4t y = -t z = t é: