Dependência e Independência Linear, Bases e Soma Direta
Exiba três vetores com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro, nenhuma das coordenadas é igual a zero e não é gerado por eles.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar três vetores no espaço tridimensional () que tenham algumas propriedades específicas:
Nenhum dos vetores é múltiplo de outro.
Nenhuma das coordenadas dos vetores é igual a zero.
Esses vetores não conseguem gerar todo o espaço .
Para isso, vamos usar conceitos de dependência linear e espaços vetoriais. Vamos passo a passo para entender como escolher esses vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “nenhum vetor ser múltiplo de outro”. Isso quer dizer que não existe um número tal que , por exemplo. Ou seja, os vetores não estão alinhados na mesma direção.
Em seguida, “nenhuma coordenada ser igual a zero” significa que, em cada vetor , , e são diferentes de zero.
Por último, "não gerar " quer dizer que, mesmo tendo três vetores, eles não conseguem alcançar todo o espaço tridimensional. Isso acontece quando os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos escolher três vetores que atendam a essas condições. Um exemplo bom é:
Vamos verificar se esses vetores cumprem todas as propriedades:
Nenhum é múltiplo do outro:
Matriz = 1 & 2 & 3 1 & 3 & 4 1 & 4 & 5 não é múltiplo de det = 1(3 cdot 5 - 4 cdot 4) - 2(1 cdot 5 - 4 cdot 1) + 3(1 cdot 4 - 3 cdot 1) = 1(-1) - 2(1) + 3(1) = -1 - 2 + 3 = 0 porque não existe um número que multiplicado por resulte em .
O mesmo vale para em relação a e .
Nenhuma coordenada é zero:
Em todos os vetores , as coordenadas são 1, 2, 3, 4, 5, nenhuma é zero.
Não geram :
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não geram .