(a) (x, y, z) in R^3: x=0.
(b) (x, y, z) in R^3: x=y=z.
© (x, y, z) in R^3: x+y=0.
(d) (x, y, z) in R^3: y >= 0.

Dependência e Independência Linear, Bases e Soma Direta

  1. Exiba três vetores u, v, w in R^3 com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro, nenhuma das coordenadas é igual a zero e R^3 não é gerado por eles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar três vetores no espaço tridimensional ( ) que tenham algumas propriedades específicas:
  1. Nenhum dos vetores é múltiplo de outro.
  2. Nenhuma das coordenadas dos vetores é igual a zero.
  3. Esses vetores não conseguem gerar todo o espaço .
Para isso, vamos usar conceitos de dependência linear e espaços vetoriais. Vamos passo a passo para entender como escolher esses vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “nenhum vetor ser múltiplo de outro”. Isso quer dizer que não existe um número tal que , por exemplo. Ou seja, os vetores não estão alinhados na mesma direção.
Em seguida, “nenhuma coordenada ser igual a zero” significa que, em cada vetor , , e são diferentes de zero.
Por último, "não gerar " quer dizer que, mesmo tendo três vetores, eles não conseguem alcançar todo o espaço tridimensional. Isso acontece quando os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos escolher três vetores que atendam a essas condições. Um exemplo bom é:
u = 1 1 1 , v = 2 3 4 , w = 3 4 5
Vamos verificar se esses vetores cumprem todas as propriedades:
  1. Nenhum é múltiplo do outro:
    • Matriz = 1 & 2 & 3 1 & 3 & 4 1 & 4 & 5 não é múltiplo de det = 1(3 cdot 5 - 4 cdot 4) - 2(1 cdot 5 - 4 cdot 1) + 3(1 cdot 4 - 3 cdot 1) = 1(-1) - 2(1) + 3(1) = -1 - 2 + 3 = 0 porque não existe um número que multiplicado por resulte em .
    • O mesmo vale para em relação a e .
  2. Nenhuma coordenada é zero:
    • Em todos os vetores , as coordenadas são 1, 2, 3, 4, 5, nenhuma é zero.
  3. Não geram :
    • Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não geram .

Resposta

Os três vetores que satisfazem as condições são:
u = 1 1 1 , v = 2 3 4 , w = 3 4 5

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