a) $\mathbf{v}+\mathbf{v}+\mathbf{v}=3 \mathbf{v}$; b) $0 . \mathbf{v}=\mathbf{0}$; c) $\alpha . \mathbf{0}=\mathbf{0}$; d) se $\alpha \cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}$, então $\alpha=0$ ou $\mathbf{v}=\mathbf{0}$.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro afirmações sobre vetores e operações com eles. O conteúdo aqui é sobre **álgebra vetorial**, especificamente envolvendo operações como adição e multiplicação por escalares. Para resolver, vamos precisar entender como somar vetores e multiplicar vetores por números (escalares).

Passo 2

**a) \(\mathbf{v} + \mathbf{v} + \mathbf{v} = 3 \mathbf{v}\)** Aqui, estamos somando o vetor \(\mathbf{v}\) três vezes. Na álgebra vetorial, somar o mesmo vetor várias vezes é o mesmo que multiplicar o vetor por um número inteiro. Então: \[ \mathbf{v} + \mathbf{v} + \mathbf{v} = 3 \mathbf{v} \] Isso mostra que somar três vetores iguais é igual a três vezes esse vetor.

Passo 3

**b) \(0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}\)** Multiplicar um vetor pelo número zero significa que o vetor resultante tem todas as suas componentes multiplicadas por zero. Independentemente do vetor \(\mathbf{v}\), ao multiplicá-lo por zero, obtemos o vetor nulo \(\mathbf{0}\). Então: \[ 0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0} \]

Passo 4

**c) \(\alpha \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}\)** Aqui, estamos multiplicando um escalar \(\alpha\) pelo vetor nulo \(\mathbf{0}\). Quando qualquer número é multiplicado pelo vetor nulo, o resultado ainda é o vetor nulo, porque todas as componentes permanecem zero: \[ \alpha \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} \]

Passo 5

**d) Se \(\alpha \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}\), então \(\alpha = 0\) ou \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\)** Esta é uma propriedade importante que fala sobre o produto de um escalar e um vetor ser igual ao vetor nulo. Para que isso aconteça, **ou** o escalar \(\alpha\) deve ser zero, **ou** o vetor \(\mathbf{v}\) deve ser o vetor nulo. Não há outra possibilidade para que o produto seja o vetor nulo. \[ \alpha \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \alpha = 0 \text{ ou } \mathbf{v} = \mathbf{0} \]

Resposta

Todas as afirmações a), b), c) e d) estão corretas conforme demonstrado acima.

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