Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três variáveis , e , e queremos encontrar os valores de e que fazem esse sistema não ter solução, ou seja, que o tornem incompatível. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, organizando as equações em uma matriz aumentada e fazendo operações para descobrir essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes. Nosso sistema é:
l x + a y + b z = 3 (2a +1) y + (a + 2b +2) z = b +6 x + (a +2) y + (3a +b) z = 3b +3
Então, a matriz aumentada fica assim:
1 & a & b & | & 3 0 & 2a +1 & a + 2b +2 & | & b +6 1 & a +2 & 3a +b & | & 3b +3
Passo 3
Vamos simplificar a matriz para facilitar nossa análise. Primeiro, queremos eliminar o R3 = R3 - R1 Rightarrow 1 & a & b & | & 3 0 & 2a +1 & a + 2b +2 & | & b +6 0 & 2 & 2a & | & 3b da terceira equação. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira:
Agora, nossa matriz está mais simples e organizada.
Passo 4
Vamos focar nas duas últimas linhas, que agora envolvem apenas l (2a +1) y + (a + 2b +2) z = b +6 2 y + 2a z = 3b e (2a +1) times [2 y + 2a z] = (2a +1) times 3b Rightarrow 4a +2 y + 4a^2 z = 3b(2a +1) :
(2a +1) y + (a + 2b +2) z = b +6
Para que o sistema seja incompatível, essas duas equações precisam não ter solução. Isso acontece quando as equações são paralelas, ou seja, os coeficientes são proporcionais, mas os termos constantes não. Vamos verificar isso.
Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por 2a +12 = a + 2b +22a = b +63b :
Agora, comparando com a primeira equação:
Para que as equações sejam proporcionais:
Vamos resolver essas proporções para encontrar e .
Passo 5
Vamos igualar as proporções:
De (2a +1) times 2a = 2 times (a + 2b +2) 4a^2 +2a = 2a +4b +4 4a^2 = 4b +4 a^2 = b +1 :
(2a +1) times 3b = 2 times (b +6) 6ab +3b = 2b +12 6ab +b =12 b(6a +1) =12 b = 126a +1
De :
Passo 6
Agora, vamos substituir a^2 = 126a +1 +1 a^2 = 12 +6a +16a +1 a^2 = 6a +136a +1 da segunda equação na primeira:
Resolvendo essa equação para 6a^3 +a^2 -6a -13 = (a -1)(6a^2 +7a +13) , encontramos que De é uma solução (testando valores inteiros). Vamos dividir o polinômio por :
O polinômio quadrático não possui raízes reais, pois o discriminante é negativo:
Então, a única solução real é .
Passo 8
Com b = 126a +1 = 126 times1 +1 = 127 , vamos encontrar :
Resposta
Os valores que tornam o sistema incompatível são e .