Encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz de cada uma das seguintes parábolas:
x^2=-4 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz da parábola dada por . Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre parábolas. Para resolver, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma parábola e como identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo. A equação geral é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, é o vértice da parábola, e determina a distância entre o vértice e o foco, além de definir a posição da diretriz.

Passo 3

Agora, vamos comparar a equação dada x^2 = -4y pode ser reescrita como (x - 0)^2 = -4(y - 0) com a forma padrão. Observando:
Isso nos mostra que e , então o vértice da parábola está na origem, ou seja, .

Passo 4

Identificamos que p = -44 = -1 . Para encontrar , dividimos ambos os lados por 4:
O valor negativo de indica que a parábola abre para baixo.

Passo 5

Com o valor de Foco = (0, 0 + (-1)) = (0, -1) , podemos encontrar o foco. A fórmula para o foco é :

Passo 6

Para encontrar a diretriz, usamos a fórmula Diretriz = y = 0 - (-1) = y = 1 :

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:

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