Encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz de cada uma das seguintes parábolas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz da parábola dada por
. Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre parábolas. Para resolver, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma parábola e como identificar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo. A equação geral é:
Aqui,
é o vértice da parábola, e
determina a distância entre o vértice e o foco, além de definir a posição da diretriz.
Passo 3
Agora, vamos comparar a equação dada
com a forma padrão. Observando:
Isso nos mostra que
e
, então o vértice da parábola está na origem, ou seja,
.
Passo 4
Identificamos que
. Para encontrar
, dividimos ambos os lados por 4:
O valor negativo de
indica que a parábola abre para baixo.
Passo 5
Com o valor de
, podemos encontrar o foco. A fórmula para o foco é
:
Passo 6
Para encontrar a diretriz, usamos a fórmula
:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz: