Resolva os sistemas lineares pelo método da eliminação Gaussiana:
l 2 x+3 y-z=7 x-2 y+2 z=3 3 x+y-3 z=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da eliminação Gaussiana. A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada para facilitar a eliminação das variáveis e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma única matriz:
2 & 3 & -1 & | & 7 1 & -2 & 2 & | & 3 3 & 1 & -3 & | & 8

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal (que vai de a ) teremos zeros. Isso facilita muito a resolução das equações.

Passo 4

Vamos começar eliminando o 2 & 3 & -1 & | & 7 1 & -2 & 2 & | & 3 3 & 1 & -3 & | & 8 das equações abaixo da primeira. Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os da segunda e terceira linhas.
Primeiro, mantemos a primeira linha igual:
Agora, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha para eliminar o da segunda equação.

Passo 5

Calculando:
  • Segunda linha: 1 - 12 times 2 = 0 -2 - 12 times 3 = -2 - 1.5 = -3.5 2 - 12 times (-1) = 2 + 0.5 = 2.5 3 - 12 times 7 = 3 - 3.5 = -0.5
0 -3.5 2.5 | -0.5
Então, a segunda linha fica:

Passo 6

Fazemos o mesmo para a terceira linha:
  • Terceira linha: 3 - 32 times 2 = 3 - 3 = 0 1 - 32 times 3 = 1 - 4.5 = -3.5 -3 - 32 times (-1) = -3 + 1.5 = -1.5 8 - 32 times 7 = 8 - 10.5 = -2.5
0 -3.5 -1.5 | -2.5
Então, a terceira linha fica:

Passo 7

Agora, a matriz fica assim:
2 & 3 & -1 & | & 7 0 & -3.5 & 2.5 & | & -0.5 0 & -3.5 & -1.5 & | & -2.5
Vamos simplificar a segunda linha dividindo por para tornar o cálculo mais fácil.

Passo 8

Dividindo a segunda linha por 0 1 -57 | 17 :
2 & 3 & -1 & | & 7 0 & 1 & -57 & | & 17 0 & -3.5 & -1.5 & | & -2.5
Agora, nossa matriz é:

Passo 9

Vamos eliminar o Linha3 + 3.5 times Linha2 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 0 + 3.5 times 0 = 0 -3.5 + 3.5 times 1 = 0 -1.5 + 3.5 times (-57) = -1.5 - 2.5 = -4 -2.5 + 3.5 times 17 = -2.5 + 0.5 = -2 e somamos à terceira linha:
0 0 -4 | -2
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 10

Agora, a matriz está em forma triangular:
2 & 3 & -1 & | & 7 0 & 1 & -57 & | & 17 0 & 0 & -4 & | & -2
Podemos resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira linha, encontramos -4z = -2 implies z = -2-4 = 12 :

Passo 11

Com y - 57 times 12 = 17 y - 514 = 17 y = 17 + 514 = 214 + 514 = 714 = 12 , vamos substituir na segunda equação para encontrar :

Passo 12

Agora que temos 2x + 3 times 12 - 12 = 7 2x + 32 - 12 = 7 2x + 1 = 7 2x = 6 x = 3 e , substituímos esses valores na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3, y = 12, z = 12

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