Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas , e , mas com dois parâmetros e . A missão é encontrar os valores de e que fazem esse sistema ser compatível e determinado, ou seja, que tenha uma única solução. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes, que nos ajudam a saber se o sistema tem uma única solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma clara:
Aqui, reorganizamos a segunda equação para facilitar.
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos coeficientes de , e nas três equações:
Passo 4
Para o sistema ter uma única solução, a matriz precisa ser invertível, o que acontece quando o determinante dela é diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
A fórmula do determinante para uma matriz é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Passo 5
Vamos simplificar passo a passo:
Calcular :
Calcular :
Subtrair os resultados:
Agora, calcular as outras partes:
Somar tudo:
Então, o determinante fica:
Passo 6
Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir que o sistema tenha uma ��nica solução. Assim:
Isso nos dá uma relação entre e . Para determinar valores específicos de e , precisamos estabelecer outra condição ou escolher um valor para um dos parâmetros. Mas como o exercício pede apenas para determinar os valores que tornam o sistema compatível e determinado, nossa condição principal é que a expressão acima não seja igual a zero.
Resposta
Para que o sistema seja compatível e determinado, os valores de e devem satisfazer a condição: