Determine os valores de a e b que tornam o sistema
l x+a y+b z=3 2 z+(2 a+1) y+(2 b+a) z=b+6 x+(a+2) y+(3 a+b) z=3 b+3
© compatível e determinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas , e , mas com dois parâmetros e . A missão é encontrar os valores de e que fazem esse sistema ser compatível e determinado, ou seja, que tenha uma única solução. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes, que nos ajudam a saber se o sistema tem uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma clara:
x + a y + b z = 3 (2a + 1) y + (2b + a + 2) z = b + 6 x + (a + 2) y + (3a + b) z = 3b + 3
Aqui, reorganizamos a segunda equação para facilitar.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos coeficientes de A = 1 & a & b 0 & 2a + 1 & 2b + a + 2 1 & a + 2 & 3a + b , e nas três equações:

Passo 4

Para o sistema ter uma única solução, a matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) precisa ser invertível, o que acontece quando o determinante dela é diferente de zero. Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot [(2a + 1)(3a + b) - (2b + a + 2)(a + 2)] - a cdot [0 cdot (3a + b) - (2b + a + 2) cdot 1] + b cdot [0 cdot (a + 2) - (2a + 1) cdot 1] .
A fórmula do determinante para uma matriz é:
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar passo a passo:
  1. Calcular 6a^2 + 2ab + 3a + b :
2b cdot a + 2b cdot 2 + a cdot a + a cdot 2 + 2 cdot a + 2 cdot 2 = 2ab + 4b + a^2 + 2a + 2a + 4 = 2ab + 4b + a^2 + 4a + 4
  1. Calcular (6a^2 + 2ab + 3a + b) - (2ab + 4b + a^2 + 4a + 4) = 5a^2 - a - 3b - 4 :
-a cdot [0 - (2b + a + 2)] = a(2b + a + 2)
  1. Subtrair os resultados:
b cdot [0 - (2a + 1)] = -b(2a + 1)
  1. Agora, calcular as outras partes:
5a^2 - a - 3b - 4 + 2ab + a^2 + 2a - 2ab - b = 6a^2 + a - 4b - 4
det(A) = 6a^2 + a - 4b - 4
  1. Somar tudo:
Então, o determinante fica:

Passo 6

Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir que o sistema tenha uma ��nica solução. Assim:
6a^2 + a - 4b - 4 neq 0
Isso nos dá uma relação entre e . Para determinar valores específicos de e , precisamos estabelecer outra condição ou escolher um valor para um dos parâmetros. Mas como o exercício pede apenas para determinar os valores que tornam o sistema compatível e determinado, nossa condição principal é que a expressão acima não seja igual a zero.

Resposta

Para que o sistema seja compatível e determinado, os valores de 6a^2 + a - 4b - 4 neq 0 e devem satisfazer a condição:

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