O produto de todos os valores possíveis para tais que seja LD é
a) -14
b) 7
c) -7
d) 14
e) 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional:
Queremos encontrar todos os valores de que fazem com que esses vetores sejam linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre linearidade e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que vetores sejam linearmente dependentes. Três vetores são LD se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero. Uma condição prática para isso é que o determinante da matriz formada por esses vetores seja igual a zero.
Então, vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores serão LD.
O determinante de uma matriz é calculado assim:
Para nossa matriz:
$$
$$
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar os cálculos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, somando tudo:
Passo 5
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
Vamos resolver essa equação para :
Isso nos dá duas soluções:
→
Passo 6
Agora, queremos o produto de todos os valores possíveis de . Temos: