Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se
e
são LI, então
é LI.
© Se
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores:
e
, e cada um desses conjuntos é linearmente independente (LI). A pergunta é: será que quando juntamos todos esses vetores em um único conjunto
, esse novo conjunto também é LI?
Para resolver isso, precisamos saber o que significa vetores serem linearmente independentes. Em resumo, um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 2
Vamos analisar a afirmação. A ideia é que, se cada par de vetores separados é LI, então todos juntos também devem ser LI. Mas será que isso sempre acontece? Para descobrir, vou tentar pensar em um exemplo que pode confundir essa ideia.
Passo 3
Vamos supor que estamos trabalhando no espaço
(tipo o plano cartesiano). Escolho dois vetores que são bem simples e que sabemos que são LI:
Esses dois vetores são LI porque nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por algum número.
Agora, vou escolher
e
de forma que também sejam LI entre si:
Note que
também é LI, já que são os mesmos
e
.
Resposta
A afirmação é falsa. No exemplo que usamos,
e
são ambos conjuntos LI, mas quando juntamos todos os vetores
, temos vetores repetidos
e
, o que faz com que o conjunto final não seja linearmente independente.