Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se e são LI, então é LI.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores: e , e cada um desses conjuntos é linearmente independente (LI). A pergunta é: será que quando juntamos todos esses vetores em um único conjunto , esse novo conjunto também é LI?
Para resolver isso, precisamos saber o que significa vetores serem linearmente independentes. Em resumo, um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação. A ideia é que, se cada par de vetores separados é LI, então todos juntos também devem ser LI. Mas será que isso sempre acontece? Para descobrir, vou tentar pensar em um exemplo que pode confundir essa ideia.

Passo 3

Vamos supor que estamos trabalhando no espaço (tipo o plano cartesiano). Escolho dois vetores que são bem simples e que sabemos que são LI:
Esses dois vetores são LI porque nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por algum número.
Agora, vou escolher e de forma que também sejam LI entre si:
Note que também é LI, já que são os mesmos e .

Resposta

A afirmação é falsa. No exemplo que usamos, e são ambos conjuntos LI, mas quando juntamos todos os vetores , temos vetores repetidos e , o que faz com que o conjunto final não seja linearmente independente.

Exercícios relacionados

O produto de todos os valores possíveis para tais que seja LD é
a) -14
b) 7
c) -7
d) 14
e) 0
Determine os valores de e que tornam o sistema
© compatível e determinado.
Resolva os sistemas lineares pelo método da eliminação Gaussiana:
Resolva os sistemas lineares pelo método da eliminação Gaussiana: