e
w=e1+e2+e3 , ache
w em termos da base
F .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que tá acontecendo aqui. A gente tem uma base
f1 = 2 e1 - e3, f2 = e2 + 2 e3, f3 = 7 e3 formada pelos vetores:
E temos um vetor
. A gente precisa descobrir como expressar
na base
. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar os coeficientes
w = a f1 + b f2 + c f3 tais que:
Isso significa que vamos escrever
como uma combinação linear dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos substituir os vetores
e1 + e2 + e3 = a (2 e1 - e3) + b (e2 + 2 e3) + c (7 e3) na equação:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 5
Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos vetores
2a = 1 b = 1 -a + 2b + 7c = 1 devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação já sabemos que
2a = 1 Rightarrow a = 12 .
Da primeira equação:
Agora, substituímos
e
na terceira equação:
Resposta
Portanto, o vetor
w = 12 f1 + 1 f2 - 114 f3 na base
é dado por: