f1=2 e1-e3, f2=e2+2 e3, f3=7 e3
e w=e1+e2+e3, ache w em termos da base F.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que tá acontecendo aqui. A gente tem uma base f1 = 2 e1 - e3, f2 = e2 + 2 e3, f3 = 7 e3 formada pelos vetores:
E temos um vetor . A gente precisa descobrir como expressar na base . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar os coeficientes w = a f1 + b f2 + c f3 tais que:
Isso significa que vamos escrever como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos substituir os vetores e1 + e2 + e3 = a (2 e1 - e3) + b (e2 + 2 e3) + c (7 e3) na equação:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:
e1 + e2 + e3 = (2a) e1 + (b) e2 + (-a + 2b + 7c) e3

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos vetores 2a = 1 b = 1 -a + 2b + 7c = 1 devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação já sabemos que 2a = 1 Rightarrow a = 12 .
Da primeira equação:
-12 + 2(1) + 7c = 1 -12 + 2 + 7c = 1 32 + 7c = 1 7c = 1 - 32 7c = -12 c = -114
Agora, substituímos e na terceira equação:

Resposta

Portanto, o vetor w = 12 f1 + 1 f2 - 114 f3 na base é dado por:

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