Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e quer descobrir os valores de a e b que fazem esse sistema ser compatível e indeterminado. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, como sistemas lineares e matrizes. Precisaremos montar o sistema, transformar em uma matriz aumentada e ver em que condições as linhas se tornam dependentes, garantindo assim infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema para facilitar a visualização:
x + a y + b z = 3 (2a + 1) y + (2b + a) z + 2 z = b + 6 x + (a + 2) y + (3a + b) z = 3b + 3
Note que na segunda equação, temos 2 z aparecendo duas vezes. Vamos simplificar isso:
(2a + 1) y + (2b + a + 2) z = b + 6
Agora, o sistema fica:
x + a y + b z = 3 (2a + 1) y + (2b + a + 2) z = b + 6 x + (a + 2) y + (3a + b) z = 3b + 3
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & a & b & | & 3 0 & 2a + 1 & 2b + a + 2 & | & b + 6 1 & a + 2 & 3a + b & | & 3b + 3
Para o sistema ser compatível e indeterminado, o posto da matriz aumentada deve ser igual ao posto da matriz dos coeficientes, e ambos devem ser menores que o número de incógnitas (que é 3). Isso geralmente acontece quando uma das equações é combinação linear das outras.
Passo 4
Vamos realizar operações nas linhas para simplificar a matriz:
Subtraia a primeira linha da terceira linha para eliminar o x da terceira equação:
1 & a & b & | & 3 0 & 2a + 1 & 2b + a + 2 & | & b + 6 0 & 2 & 3a + b - b & | & 3b + 3 - 3
Simplificando a terceira linha:
0 2 3a | 3b
Agora, a matriz fica:
1 & a & b & | & 3 0 & 2a + 1 & 2b + a + 2 & | & b + 6 0 & 2 & 3a & | & 3b
Para que o sistema tenha infinitas soluções, a terceira linha deve ser uma combinação das primeiras. Ou seja, os coeficientes devem satisfazer proporções iguais.
Isso nos dá o seguinte sistema de equações para a e b:
22a + 1 = 3a2b + a + 2 = 3bb + 6
Vamos resolver essas proporções duas a duas.
Passo 5
Primeiro, igualamos as duas primeiras frações:
22a + 1 = 3a2b + a + 2
Multiplicando cruzado:
2(2b + a + 2) = 3a(2a + 1)
Expandindo:
4b + 2a + 4 = 6a^2 + 3a
Rearranjando:
6a^2 + a - 4b - 4 = 0 (1)
Agora, igualamos as duas últimas frações:
22a + 1 = 3bb + 6
Multiplicando cruzado:
2(b + 6) = 3b(2a + 1)
Expandindo:
2b + 12 = 6a b + 3b
Rearranjando:
6a b + b - 2b - 12 = 0 Rightarrow b(6a -1) = 12 Rightarrow b = 126a -1 (2)
Passo 6
Agora, substituímos a expressão de b da equação (2) na equação (1):
6a^2 + a - 4(126a -1) - 4 = 0
Multiplicando todos os termos por (6a -1) para eliminar o denominador:
Encontrar soluções reais pode ser complicado, mas supondo que haja uma solução racional, testamos possíveis valores de a. Vamos tentar a=1:
36(1)^3 -25(1) -44 = 36 -25 -44 = -33 neq 0
Tentar a=2:
36(8) -25(2) -44 = 288 -50 -44 = 194 neq 0
Pode-se ver que não há soluções inteiras fáceis, o que sugere que houve algum erro nas operações anteriores. Vamos revisar os cálculos para garantir precisão.
Revisão:
Na equação ajustada após a substituição:
6a^2 + a - 4b -4 = 0
Com b = 126a -1, substituindo:
6a^2 + a - 4(126a -1) -4 =0 Rightarrow 6a^2 + a - 486a -1 -4 =0
Multiplicando por (6a -1):
(6a^2 + a -4)(6a -1) -48 =0
Expandindo:
36a^3 -6a^2 +6a^2 -a -24a +4 -48 =36a^3 -25a -44=0
Confirmamos que a equação cúbica está correta. Portanto, o sistema não possui soluções racionais simples, indicando que provavelmente o sistema não tem valores de a e b que o tornem compatível e indeterminado. Assim, o conjunto procurado está vazio.
Resposta
Não existem valores de a e b que tornam o sistema compatível e indeterminado.