A matriz A tem 6 colunas, denotadas por Ci com i=1, ldots, 6. Valem as relações C1-3 C2=C3 e C1+C2+C3+C4=C5. Mostre que Col(A) é gerado pelas colunas 1,2,4 e 6. Ache duas soluções LI de A X=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está na área de álgebra linear, especificamente lidando com espaço das colunas de uma matriz e soluções de sistemas lineares homogêneos. Vamos precisar entender como as colunas de uma matriz se relacionam e como encontrar soluções que satisfazem a equação . Vamos dividir isso em etapas para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as relações dadas entre as colunas da matriz . Temos duas equações:
Essas equações nos mostram como algumas colunas podem ser escritas como combinações lineares de outras. Isso é útil para entender quais colunas são essenciais para gerar todo o espaço das colunas da matriz .

Passo 3

Vamos reescrever a primeira equação para isolar C3 = C1 - 3C2 :
Isso significa que a coluna pode ser obtida combinando as colunas e . Portanto, não adiciona nada de novo ao espaço das colunas, já que já está sendo gerada por e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação C1 + C2 + (C1 - 3C2) + C4 = C5 . Substituindo 2C1 - 2C2 + C4 = C5 pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Isso mostra que também pode ser expressa como uma combinação das colunas , e . Logo, não é necessária para gerar o espaço das colunas, já que já está sendo gerada por outras colunas.

Passo 5

Até agora, vimos que e podem ser geradas pelas colunas , e . Isso sugere que o espaço das colunas de , denotado por , pode ser gerado apenas pelas colunas , , e (já que não foi mencionado nas equações e, portanto, é considerado independente).

Passo 6

Portanto, concluímos que:
Col(A) = span C1, C2, C4, C6
Isso significa que qualquer coluna de pode ser escrita como uma combinação linear das colunas , , e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar duas soluções linearmente independentes para a equação homogênea . Para isso, precisamos entender as relações de dependência entre as colunas de .
Sabemos que:
Isso nos dá duas relações lineares entre as colunas da matriz. Essas relações correspondem a duas soluções do sistema homogêneo.

Passo 8

Para cada relação, podemos associar um vetor x1 = 1 -3 -1 0 0 0 que representa os coeficientes dessa combinação. Vamos considerar que a matriz x2 = 2 -2 0 1 -1 0 tem 6 colunas, então será um vetor com 6 componentes.
Primeira relação:
Isso corresponde ao vetor:
Segunda relação:
Isso corresponde ao vetor:

Passo 9

Esses vetores e são soluções do sistema homogêneo . Além disso, eles são linearmente independentes porque nenhuma combinação não trivial de um resulta no outro.

Resposta

Portanto, as soluções linearmente independentes para x1 = 1 -3 -1 0 0 0 e x2 = 2 -2 0 1 -1 0 são:

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