A matriz tem 6 colunas, denotadas por com . Valem as relações e . Mostre que é gerado pelas colunas e 6. Ache duas soluções LI de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está na área de álgebra linear, especificamente lidando com espaço das colunas de uma matriz e soluções de sistemas lineares homogêneos. Vamos precisar entender como as colunas de uma matriz se relacionam e como encontrar soluções que satisfazem a equação . Vamos dividir isso em etapas para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as relações dadas entre as colunas da matriz . Temos duas equações:
Essas equações nos mostram como algumas colunas podem ser escritas como combinações lineares de outras. Isso é útil para entender quais colunas são essenciais para gerar todo o espaço das colunas da matriz .

Passo 3

Vamos reescrever a primeira equação para isolar :
Isso significa que a coluna pode ser obtida combinando as colunas e . Portanto, não adiciona nada de novo ao espaço das colunas, já que já está sendo gerada por e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação . Substituindo pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Isso mostra que também pode ser expressa como uma combinação das colunas , e . Logo, não é necessária para gerar o espaço das colunas, já que já está sendo gerada por outras colunas.

Passo 5

Até agora, vimos que e podem ser geradas pelas colunas , e . Isso sugere que o espaço das colunas de , denotado por , pode ser gerado apenas pelas colunas , , e (já que não foi mencionado nas equações e, portanto, é considerado independente).

Passo 6

Portanto, concluímos que:
Isso significa que qualquer coluna de pode ser escrita como uma combinação linear das colunas , , e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar duas soluções linearmente independentes para a equação homogênea . Para isso, precisamos entender as relações de dependência entre as colunas de .
Sabemos que:
Isso nos dá duas relações lineares entre as colunas da matriz. Essas relações correspondem a duas soluções do sistema homogêneo.

Passo 8

Para cada relação, podemos associar um vetor que representa os coeficientes dessa combinação. Vamos considerar que a matriz tem 6 colunas, então será um vetor com 6 componentes.
Primeira relação:
Isso corresponde ao vetor:
Segunda relação:
Isso corresponde ao vetor:

Passo 9

Esses vetores e são soluções do sistema homogêneo . Além disso, eles são linearmente independentes porque nenhuma combinação não trivial de um resulta no outro.

Resposta

Portanto, as soluções linearmente independentes para são:

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