Sejam e subespaços de tais que . Mostre que existe um operador linear tal que Ker T e .

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos dois subespaços e de um espaço vetorial tal que a soma das suas dimensões é igual à dimensão de , ou seja, . Precisamos provar que existe um operador linear onde é o núcleo de (Ker ) e é a imagem de (lm ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, dimensões, operadores lineares, núcleo e imagem. Vamos construir o operador de forma que ele annihile e tenha como imagem, garantindo que as condições do problema sejam satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, observe que e têm dimensões que somam . Isso sugere que e podem estar relacionados de forma complementar dentro de . De fato, podemos assumir que , ou seja, todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor em e um vetor em .

Passo 3

Vamos definir o operador linear da seguinte maneira: para qualquer vetor , que pode ser escrito como , onde e , definimos
Isso significa que “projeta” qualquer vetor de na componente que está em .

Passo 4

Vamos verificar se . Se , então . Pelo nosso definição de , isso significa que , então , ou seja, . Portanto, .
Por outro lado, se , então , já que e a componente em é zero. Logo, .
Assim, .

Passo 5

Agora, vamos verificar se . Para qualquer , considere o vetor . Então,
Isso mostra que todo vetor em está na imagem de , ou seja, .
Além disso, pela definição de , a imagem de está contida em , pois sempre resulta em um vetor de . Logo, .
Assim, .

Resposta

Existe um operador linear definido por , onde e . Com essa definição, e , conforme requerido.

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A matriz tem 6 colunas, denotadas por com . Valem as relações e . Mostre que é gerado pelas colunas e 6. Ache duas soluções LI de .
Resolva os sistemas lineares pelo método da eliminação Gaussiana:
Determine os valores de e que tornam o sistema
(b) compatível e indeterminado;
(i) Se , então e são colineares.
(ii) Se e são colineares, então .
(iii) As coordenadas do ponto , simétrico de em relação a , são .
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Todas as afirmações são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.