Sejam
e
subespaços de
tais que
. Mostre que existe um operador linear
tal que
Ker T e
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos dois subespaços
e
de um espaço vetorial
tal que a soma das suas dimensões é igual à dimensão de
, ou seja,
. Precisamos provar que existe um operador linear
onde
é o núcleo de
(Ker
) e
é a imagem de
(lm
).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, dimensões, operadores lineares, núcleo e imagem. Vamos construir o operador
de forma que ele annihile
e tenha
como imagem, garantindo que as condições do problema sejam satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, observe que
e
têm dimensões que somam
. Isso sugere que
e
podem estar relacionados de forma complementar dentro de
. De fato, podemos assumir que
, ou seja, todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor em
e um vetor em
.
Passo 3
Vamos definir o operador linear
da seguinte maneira: para qualquer vetor
, que pode ser escrito como
, onde
e
, definimos
Isso significa que
“projeta” qualquer vetor de
na componente que está em
.
Passo 4
Vamos verificar se
. Se
, então
. Pelo nosso definição de
, isso significa que
, então
, ou seja,
. Portanto,
.
Por outro lado, se
, então
, já que
e a componente em
é zero. Logo,
.
Assim,
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
. Para qualquer
, considere o vetor
. Então,
Isso mostra que todo vetor em
está na imagem de
, ou seja,
.
Além disso, pela definição de
, a imagem de
está contida em
, pois
sempre resulta em um vetor de
. Logo,
.
Assim,
.
Resposta
Existe um operador linear
definido por
, onde
e
. Com essa definição,
e
, conforme requerido.