Sejam U e W subespaços de V tais que dim U+dim W=dim V. Mostre que existe um operador linear T ; V longrightarrow V tal que U= Ker T e W=lm T.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos dois subespaços e de um espaço vetorial tal que a soma das suas dimensões é igual à dimensão de , ou seja, . Precisamos provar que existe um operador linear onde é o núcleo de (Ker ) e é a imagem de (lm ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, dimensões, operadores lineares, núcleo e imagem. Vamos construir o operador de forma que ele annihile e tenha como imagem, garantindo que as condições do problema sejam satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, observe que e têm dimensões que somam . Isso sugere que e podem estar relacionados de forma complementar dentro de . De fato, podemos assumir que , ou seja, todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor em e um vetor em .

Passo 3

Vamos definir o operador linear T(v) = w da seguinte maneira: para qualquer vetor , que pode ser escrito como , onde e , definimos
Isso significa que “projeta” qualquer vetor de na componente que está em .

Passo 4

Vamos verificar se . Se , então . Pelo nosso definição de , isso significa que , então , ou seja, . Portanto, .
Por outro lado, se , então , já que e a componente em é zero. Logo, .
Assim, .

Passo 5

Agora, vamos verificar se T(v) = T(0 + w) = w . Para qualquer , considere o vetor . Então,
Isso mostra que todo vetor em está na imagem de , ou seja, .
Além disso, pela definição de , a imagem de está contida em , pois sempre resulta em um vetor de . Logo, .
Assim, .

Resposta

Existe um operador linear definido por , onde e . Com essa definição, e , conforme requerido.

Exercícios relacionados