Determine os valores de para que o conjunto seja linearmente dependente em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço . A missão é descobrir para quais valores de esse conjunto é linearmente dependente. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre a dependência linear e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser linearmente dependente? Basicamente, se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros, então o conjunto é linearmente dependente. Para verificar isso, a gente pode montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dela. Se o determinante for zero, significa que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz .

Passo 4

O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Para que o conjunto seja linearmente dependente, precisamos que . Portanto:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 6

Fatorando a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. ou

Resposta

Os valores de que tornam o conjunto linearmente dependente são , e .

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Seja uma matriz . Verifique as seguintes afirmações: (i) Se é inversível e existe uma matriz , tal que , então .
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Mostre que e calcule a dimensão de .
Dica: Use a .