Determine os valores de para que o conjunto seja linearmente dependente em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço . A missão é descobrir para quais valores de esse conjunto é linearmente dependente. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre a dependência linear e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, o que significa ser linearmente dependente? Basicamente, se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros, então o conjunto é linearmente dependente. Para verificar isso, a gente pode montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dela. Se o determinante for zero, significa que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz .
Passo 4
O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Para que o conjunto seja linearmente dependente, precisamos que . Portanto:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .
Passo 6
Fatorando a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
Resposta
Os valores de que tornam o conjunto linearmente dependente são , e .