Determine os valores de a para que o conjunto B=(a, 2,0),(1, a, 3),(0,1, a) seja linearmente dependente em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço . A missão é descobrir para quais valores de esse conjunto é linearmente dependente. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre a dependência linear e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser linearmente dependente? Basicamente, se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros, então o conjunto é linearmente dependente. Para verificar isso, a gente pode montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dela. Se o determinante for zero, significa que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = a & 1 & 0 2 & a & 1 0 & 3 & a com os vetores de como colunas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz .

Passo 4

O determinante de uma matriz det(A) = a cdot (a cdot a - 1 cdot 3) - 1 cdot (2 cdot a - 1 cdot 0) + 0 cdot (2 cdot 3 - a cdot 0) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
det(A) = a(a^2 - 3) - 1(2a) + 0 = a^3 - 3a - 2a = a^3 - 5a
Simplificando cada termo:

Passo 5

Para que o conjunto a^3 - 5a = 0 seja linearmente dependente, precisamos que . Portanto:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 6

Fatorando a equação:
a(a^2 - 5) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. ou

Resposta

Os valores de que tornam o conjunto linearmente dependente são , e .

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