Mostre que e calcule a dimensão de .
Dica: Use a .

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços e de . A primeira parte da pergunta quer que a gente mostre que a soma desses subespaços, , é igual a todo o espaço . A segunda parte pede para calcular a dimensão da interseção desses subespaços, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar um teorema importante da álgebra linear que relaciona as dimensões desses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Agora, vamos usar a fórmula que relaciona as dimensões dos subespaços:

Passo 3

A questão nos diz para mostrar que . Isso significa que a soma dos subespaços e gera todo o espaço tridimensional. Portanto, a dimensão de é igual a 3, ou seja:

Passo 4

Substituindo esse valor na fórmula que mencionamos:
Agora, precisamos descobrir as dimensões de e . Sem informações específicas sobre e , geralmente assumimos que eles são linhas ou planos em . Vamos considerar os casos mais comuns:
  1. Se e são planos, então .
  2. Se e são linhas, então .
Vamos analisar o primeiro caso, onde e são planos.

Passo 5

Assumindo que e são planos em , temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:

Resposta

A dimensão de é igual a 1.

Exercícios relacionados

Calcule a partir das divisões sucessivas (TEOREMA DE EUCLIDES)
A.
Determine os valores de para que o conjunto seja linearmente dependente em .
Escreva o número na base 10 utilizando a divisão de Euclides (BASE NUMÉRICA):
Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de .