Mostre que U+V=R^3 e calcule a dimensão de U cap V.
Dica: Use a dim(U+V).

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços e de . A primeira parte da pergunta quer que a gente mostre que a soma desses subespaços, , é igual a todo o espaço . A segunda parte pede para calcular a dimensão da interseção desses subespaços, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar um teorema importante da álgebra linear que relaciona as dimensões desses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U cap V) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Agora, vamos usar a fórmula que relaciona as dimensões dos subespaços:

Passo 3

A questão nos diz para mostrar que dim(U + V) = 3 . Isso significa que a soma dos subespaços e gera todo o espaço tridimensional. Portanto, a dimensão de é igual a 3, ou seja:

Passo 4

Substituindo esse valor na fórmula que mencionamos:
3 = dim(U) + dim(V) - dim(U cap V)
Agora, precisamos descobrir as dimensões de e . Sem informações específicas sobre e , geralmente assumimos que eles são linhas ou planos em . Vamos considerar os casos mais comuns:
  1. Se e são planos, então .
  2. Se e são linhas, então .
Vamos analisar o primeiro caso, onde e são planos.

Passo 5

Assumindo que dim(U) = 2 e dim(V) = 2 e 3 = 2 + 2 - dim(U cap V) são planos em 3 = 4 - dim(U cap V) , temos:
dim(U cap V) = 4 - 3 = 1
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:

Resposta

A dimensão de é igual a 1.

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