Mostre que
e calcule a dimensão de
.
Dica: Use a
.
Dica: Use a
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços
e
de
. A primeira parte da pergunta quer que a gente mostre que a soma desses subespaços,
, é igual a todo o espaço
. A segunda parte pede para calcular a dimensão da interseção desses subespaços, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar um teorema importante da álgebra linear que relaciona as dimensões desses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Agora, vamos usar a fórmula que relaciona as dimensões dos subespaços:
Passo 3
A questão nos diz para mostrar que
. Isso significa que a soma dos subespaços
e
gera todo o espaço tridimensional. Portanto, a dimensão de
é igual a 3, ou seja:
Passo 4
Substituindo esse valor na fórmula que mencionamos:
Agora, precisamos descobrir as dimensões de
e
. Sem informações específicas sobre
e
, geralmente assumimos que eles são linhas ou planos em
. Vamos considerar os casos mais comuns:
- Se
e são planos, então . - Se
e são linhas, então .
Vamos analisar o primeiro caso, onde
e
são planos.
Passo 5
Assumindo que
e
são planos em
, temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Resposta
A dimensão de
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Calcule a partir das divisões sucessivas (TEOREMA DE EUCLIDES)
A.
A.
Determine os valores de
para que o conjunto
seja linearmente dependente em
.
Escreva o número
na base 10 utilizando a divisão de Euclides (BASE NUMÉRICA):
Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.