Seja A uma matriz n times n. Verifique as seguintes afirmações: (i) Se A é inversível e existe uma matriz B, n times n, tal que A B=0, então B=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem . A afirmação que precisamos verificar é: se é inversível e existe uma matriz de mesma ordem tal que (matriz zero), então também deve ser a matriz zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes inversíveis e propriedades da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Isso significa que “desfaz” a multiplicação feita por .

Passo 3

Sabendo que A^-1 cdot (A cdot B) = A^-1 cdot 0 é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação (A^-1 cdot A) cdot B = 0 pela inversa de . Vamos multiplicar pela esquerda:
Por propriedades das matrizes, a multiplicação é associativa, então:

Passo 4

Substituímos I cdot B = 0 por B = 0 :
E sabemos que qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:

Resposta

Portanto, se é inversível e , então deve ser a matriz zero.

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