Seja uma matriz . Verifique as seguintes afirmações: (i) Se é inversível e existe uma matriz , tal que , então .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem . A afirmação que precisamos verificar é: se é inversível e existe uma matriz de mesma ordem tal que (matriz zero), então também deve ser a matriz zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes inversíveis e propriedades da multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Isso significa que “desfaz” a multiplicação feita por .
Passo 3
Sabendo que é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de . Vamos multiplicar pela esquerda:
Por propriedades das matrizes, a multiplicação é associativa, então:
Passo 4
Substituímos por :
E sabemos que qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:
Resposta
Portanto, se é inversível e , então deve ser a matriz zero.