Seja
uma matriz
. Verifique as seguintes afirmações: (i) Se
é inversível e existe uma matriz
, tal que
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
. A afirmação que precisamos verificar é: se
é inversível e existe uma matriz
de mesma ordem tal que
(matriz zero), então
também deve ser a matriz zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes inversíveis e propriedades da multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Isso significa que
“desfaz” a multiplicação feita por
.
Passo 3
Sabendo que
é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação
pela inversa de
. Vamos multiplicar pela esquerda:
Por propriedades das matrizes, a multiplicação é associativa, então:
Passo 4
Substituímos
por
:
E sabemos que qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:
Resposta
Portanto, se
é inversível e
, então
deve ser a matriz zero.