Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R ):
© raiz((-x^2 + 1) / (x^2 - 2*x - 15)) - raiz(((x - 3) * (x^2 + 2*x - 8)) / (x^2 + 4*x + 3)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma expressão meio complicada com raízes quadradas e frações:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa expressão faz sentido, ou seja, para quais ela está definida nos números reais. Vamos precisar lembrar sobre o domínio de funções envolvendo radicais e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira raiz quadrada:
Para que essa raiz seja válida, o que está dentro dela precisa ser não negativo (maior ou igual a zero), e o denominador não pode ser zero. Então, temos duas condições:

Passo 3

Vamos resolver a condição . Isso significa que o denominador não pode ser zero. Vamos achar os valores que anulam o denominador:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou . Logo, e .

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para isso, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador:
Numerador:
Denominador já fatoramos:
Então, a fração fica:
Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelas raízes: , , , .
Fazendo uma tabela de sinais:
Intervalo
+ - + - +
+ - - - +
Fração + + - + +
Queremos onde a fração é maior ou igual a zero, então os intervalos válidos são , , , e .

Passo 5

Agora, vamos olhar para a segunda raiz quadrada:
Assim como antes, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo, e o denominador não pode ser zero. Então, temos duas condições:

Passo 6

Vamos resolver . Fatorando:
Então, e .

Passo 7

Agora, vamos resolver a desigualdade .
Primeiro, fatoramos . Vamos usar a fórmula quadrática:
Então, ou .
Agora, a fração fica:
Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelas raízes: , , , , .
Tabela de sinais:
Intervalo
- - - - - +
- - - - + +
- + + + + +
- - - + + +
- - + + + +
Fração (-)(-)(-) / (-)(-) = - / + = - (-)(-)(+) / (-)(-) = + / + = + (-)(-)(+) / (-)(+) = + / - = - (-)(-)(+) / (+)(+) = + / + = + (-)(+)(+) / (+)(+) = - / + = - (+)(+)(+) / (+)(+) = + / + = +
Queremos onde a fração é maior ou igual a zero, então os intervalos válidos são , , e .

Passo 8

Agora, vamos juntar todas as condições:
  1. Para a primeira raiz: , , , e
  2. Para a segunda raiz: , , e
Precisamos que ambas as raízes estejam definidas ao mesmo tempo, então vamos encontrar a interseção dos intervalos:
  • e
  • e → Não há sobreposição
  • e
  • e
Então, os intervalos válidos são , , e .

Resposta

A expressão está definida para todos os números reais tais que:

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