Determine para que valores de
as expressões abaixo fazem sentido (em
):
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma expressão meio complicada com raízes quadradas e frações:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa expressão faz sentido, ou seja, para quais
ela está definida nos números reais. Vamos precisar lembrar sobre o domínio de funções envolvendo radicais e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira raiz quadrada:
Para que essa raiz seja válida, o que está dentro dela precisa ser não negativo (maior ou igual a zero), e o denominador não pode ser zero. Então, temos duas condições:
Passo 3
Vamos resolver a condição
. Isso significa que o denominador não pode ser zero. Vamos achar os valores que anulam o denominador:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
. Logo,
e
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador:
Numerador:
Denominador já fatoramos:
Então, a fração fica:
Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelas raízes:
,
,
,
.
Fazendo uma tabela de sinais:
Intervalo |
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|
|
+ | - | + | - | + |
|
+ | - | - | - | + |
Fração | + | + | - | + | + |
Queremos onde a fração é maior ou igual a zero, então os intervalos válidos são
,
,
, e
.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a segunda raiz quadrada:
Assim como antes, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo, e o denominador não pode ser zero. Então, temos duas condições:
Passo 6
Vamos resolver
. Fatorando:
Então,
e
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a desigualdade
.
Primeiro, fatoramos
. Vamos usar a fórmula quadrática:
Então,
ou
.
Agora, a fração fica:
Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelas raízes:
,
,
,
,
.
Tabela de sinais:
Intervalo |
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|
|
- | - | - | - | - | + |
|
- | - | - | - | + | + |
|
- | + | + | + | + | + |
|
- | - | - | + | + | + |
|
- | - | + | + | + | + |
Fração | (-)(-)(-) / (-)(-) = - / + = - | (-)(-)(+) / (-)(-) = + / + = + | (-)(-)(+) / (-)(+) = + / - = - | (-)(-)(+) / (+)(+) = + / + = + | (-)(+)(+) / (+)(+) = - / + = - | (+)(+)(+) / (+)(+) = + / + = + |
Queremos onde a fração é maior ou igual a zero, então os intervalos válidos são
,
, e
.
Passo 8
Agora, vamos juntar todas as condições:
- Para a primeira raiz:
, , , e - Para a segunda raiz:
, , e
Precisamos que ambas as raízes estejam definidas ao mesmo tempo, então vamos encontrar a interseção dos intervalos:
-
e → -
e → Não há sobreposição -
e → -
e →
Então, os intervalos válidos são
,
, e
.
Resposta
A expressão está definida para todos os números reais
tais que:
Exercícios relacionados
Resolva em
as inequações abaixo:
(b) ;
(b)
Resolva em
as inequações abaixo:
(e) .
(e)
Resolva em
as inequações abaixo:
(g) ;
(g)
Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
;