Resolva em
as inequações abaixo:
(g)
;
(g)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a inequação
.
Matéria envolvida: Inequações envolvendo raízes quadradas.
O que precisamos: Garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa e que o lado direito da inequação também seja positivo. Depois, vamos isolar o x para encontrar os valores que satisfazem a inequação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que está dentro da raiz quadrada:
. Para que a raiz exista em números reais, precisamos que essa expressão seja maior ou igual a zero.
Então, temos:
Passo 3
Vamos analisar o discriminante dessa expressão quadrática para saber se ela tem raízes reais:
Como
, a expressão
não tem raízes reais e, como o coeficiente de
é positivo, a expressão é sempre positiva. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos garantir que o lado direito da inequação
seja positivo, já que estamos comparando com uma raiz quadrada que é sempre não negativa.
Então, temos:
Isso nos dá a restrição de domínio: devemos considerar apenas valores de
maiores que
.
Passo 5
Com as condições garantidas, vamos resolver a inequação original:
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado, lembrando que isso só é válido se ambos os lados forem positivos, o que já garantimos.
Então:
Passo 6
Vamos expandir o lado direito da inequação:
Substituindo de volta na inequação:
Passo 7
Vamos reorganizar a inequação trazendo todos os termos para um lado:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isso inverte o sentido da inequação):
Passo 8
Agora, precisamos resolver a inequação quadrática:
Para isso, vamos encontrar as raízes da equação associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
As raízes são:
Como a inequação é
e o coeficiente de
é positivo, a solução será os valores de
fora do intervalo definido pelas raízes.
Passo 10
Considerando a restrição de domínio
, descartamos a solução
, pois este valor é menor que
.
Portanto, a solução final é:
Resposta
A solução da inequação é todo número real
tal que:
Exercícios relacionados
Determine para que valores de
as expressões abaixo fazem sentido (em
):
© .
©
Resolva em
as inequações abaixo:
(b) ;
(b)
Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
;
Resolva em
as inequações abaixo:
(e) ;
(e)