Determine os valores extremos da função no circulo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função dentro do círculo definido por . Isso envolve conceitos de otimização e restrições, que geralmente usamos métodos como Lagrange ou parametrização para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar valores extremos nessa função. Queremos descobrir onde atinge seus valores máximos e mínimos dentro do círculo . Ou seja, estamos procurando os pontos dentro desse círculo que fazem ser o maior e o menor possível.

Passo 3

Para facilitar, vamos usar a parametrização do círculo. Sabemos que qualquer ponto no círculo pode ser representado como e , onde é o ângulo no círculo.

Passo 4

Substituindo essas parametrizações na função , temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , então substituindo:

Passo 5

Agora, a função ficou mais simples: . Sabemos que varia entre 0 e 1, já que o cosseno ao quadrado de qualquer ângulo não pode ser negativo e no máximo é 1.

Passo 6

Isso significa que:
Portanto, o valor mínimo de é 1, e o valor máximo é 2.

Passo 7

Agora, vamos identificar onde esses valores acontecem:
  • Mínimo (1): Quando . Isso ocorre nos pontos onde e , ou seja, nos pontos e .
  • Máximo (2): Quando . Isso acontece nos pontos onde e , ou seja, nos pontos e .

Resposta

Os valores extremos da função no círculo são:
  • Valor mínimo: 1, nos pontos e .
  • Valor máximo: 2, nos pontos e .

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