Determine os valores extremos da função
no circulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função
dentro do círculo definido por
. Isso envolve conceitos de otimização e restrições, que geralmente usamos métodos como Lagrange ou parametrização para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar valores extremos nessa função. Queremos descobrir onde
atinge seus valores máximos e mínimos dentro do círculo
. Ou seja, estamos procurando os pontos dentro desse círculo que fazem
ser o maior e o menor possível.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar a parametrização do círculo. Sabemos que qualquer ponto no círculo
pode ser representado como
e
, onde
é o ângulo no círculo.
Passo 4
Substituindo essas parametrizações na função
, temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
, então substituindo:
Passo 5
Agora, a função ficou mais simples:
. Sabemos que
varia entre 0 e 1, já que o cosseno ao quadrado de qualquer ângulo não pode ser negativo e no máximo é 1.
Passo 6
Isso significa que:
Portanto, o valor mínimo de
é 1, e o valor máximo é 2.
Passo 7
Agora, vamos identificar onde esses valores acontecem:
- Mínimo (1): Quando
→ . Isso ocorre nos pontos onde e , ou seja, nos pontos e . - Máximo (2): Quando
→ . Isso acontece nos pontos onde e , ou seja, nos pontos e .
Resposta
Os valores extremos da função
no círculo
são:
- Valor mínimo: 1, nos pontos
e . - Valor máximo: 2, nos pontos
e .
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