Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva . Esse problema faz parte do estudo de coordenadas polares, onde precisamos identificar onde as duas curvas se intersectam e então calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo por 2 na primeira equação:
Agora, resolvemos para :

Passo 3

Agora que temos os valores de onde as curvas se intersectam, vamos determinar os intervalos para integrar. Como as curvas se repetem a cada radianos devido ao termo , vamos calcular a área para um intervalo de a e depois multiplicar por 2 para cobrir todas as simetrias.

Passo 4

Para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui, é a distância da curva mais externa e é a da curva mais interna. No nosso caso, dentro do intervalo de integração, a curva está por dentro de , então:

Passo 5

Vamos integrar agora:

Resposta

A área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva é:
á

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