Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região que está dentro da primeira curva
e fora da segunda curva
. Esse problema faz parte do estudo de coordenadas polares, onde precisamos identificar onde as duas curvas se intersectam e então calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
por 2 na primeira equação:
Agora, resolvemos para
:
Passo 3
Agora que temos os valores de
onde as curvas se intersectam, vamos determinar os intervalos para integrar. Como as curvas se repetem a cada
radianos devido ao termo
, vamos calcular a área para um intervalo de
a
e depois multiplicar por 2 para cobrir todas as simetrias.
Passo 4
Para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui,
é a distância da curva mais externa e
é a da curva mais interna. No nosso caso, dentro do intervalo de integração, a curva
está por dentro de
, então:
Passo 5
Vamos integrar agora:
Resposta
A área da região que está dentro da primeira curva
e fora da segunda curva
é:
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A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.
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no circulo
.
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias. Use o Método dos Coeficientes a Determinar ou Variação de Parâmetros.