Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
, em cossenos, período 8 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função definida no intervalo de a , usando somente cossenos e considerando um período de . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções pares, já que estamos trabalhando só com cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier em termos de cossenos é útil para representar funções pares ou funções definidas em intervalos simétricos. Como nosso intervalo é de a e o período é , isso significa que a função é estendida de forma par em todo o eixo.

Passo 3

A série de Fourier em termos de cossenos para uma função com período tem a forma:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes que vamos calcular.

Passo 4

Vamos calcular , que é dado por:
Calculando a integral:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular a integral de :
Isso pode ser resolvido usando integração por partes duas vezes, mas para simplificar, podemos usar fórmulas padrão de integrais de potências vezes cosseno.

Passo 7

Depois, calculamos a integral de :
Também usamos integração por partes aqui.

Passo 8

Após resolver as integrais, substituímos os limites de a e calculamos os valores para cada .

Passo 9

Finalmente, substituímos e os na fórmula da série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier em termos de cossenos para a função , com período , é:

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