Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
, em cossenos, período 8 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
definida no intervalo de
a
, usando somente cossenos e considerando um período de
. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções pares, já que estamos trabalhando só com cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier em termos de cossenos é útil para representar funções pares ou funções definidas em intervalos simétricos. Como nosso intervalo é de
a
e o período é
, isso significa que a função é estendida de forma par em todo o eixo.
Passo 3
A série de Fourier em termos de cossenos para uma função com período
tem a forma:
Aqui,
é o termo constante e
são os coeficientes que vamos calcular.
Passo 4
Vamos calcular
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a integral de
:
Isso pode ser resolvido usando integração por partes duas vezes, mas para simplificar, podemos usar fórmulas padrão de integrais de potências vezes cosseno.
Passo 7
Depois, calculamos a integral de
:
Também usamos integração por partes aqui.
Passo 8
Após resolver as integrais, substituímos os limites de
a
e calculamos os valores para cada
.
Passo 9
Finalmente, substituímos
e os
na fórmula da série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier em termos de cossenos para a função
, com período
, é:
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Determine a derivada.
Determine os valores extremos da função
no circulo
.
É verdadeiro ou falso?
A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.
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