Determine os valores extremos da função , definida por
tal que satisfaz .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores extremos (máximos e mínimos) da função considerando que e estão dentro da região definida por . Isso faz parte do estudo de otimização com restrições, usando cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar os pontos críticos dentro da região e também verificar os pontos na fronteira dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Isso significa que vamos procurar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
A função é . As derivadas parciais são:
Para achar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico dentro da região é .

Passo 3

Agora, vamos avaliar o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um valor possível de extremo dentro da região.

Passo 4

Além dos pontos internos, precisamos também verificar os extremos na fronteira da região . Para isso, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a fronteira.
Vamos optar por parametrizar a fronteira. Podemos expressar e em termos de um parâmetro :
onde varia de a .
Substituindo na função:
Simplificando usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Para encontrar os extremos de , vamos analisar o expoente . O termo varia entre -1 e 1, então:
  • Quando , temos (mínimo).
  • Quando , temos (máximo).
Isso ocorre nos seguintes valores de :
  • Máximo em e .
  • Mínimo em e .
Convertendo de volta para :
  • Máximos em e .
  • Mínimos em e .

Resposta

Os valores extremos da função são:
  • Máximo: nos pontos e .
  • Mínimo: nos pontos e .

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Seja uma função, definida por
Analise os comportamentos dos pontos críticos de .
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