Determine os valores extremos da função
, definida por
tal que
satisfaz
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores extremos (máximos e mínimos) da função
considerando que
e
estão dentro da região definida por
. Isso faz parte do estudo de otimização com restrições, usando cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar analisar os pontos críticos dentro da região e também verificar os pontos na fronteira dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro da região
. Isso significa que vamos procurar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
A função é
. As derivadas parciais são:
Para achar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico dentro da região é
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um valor possível de extremo dentro da região.
Passo 4
Além dos pontos internos, precisamos também verificar os extremos na fronteira da região
. Para isso, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a fronteira.
Vamos optar por parametrizar a fronteira. Podemos expressar
e
em termos de um parâmetro
:
onde
varia de
a
.
Substituindo na função:
Simplificando usando a identidade trigonométrica
:
Passo 5
Para encontrar os extremos de
, vamos analisar o expoente
. O termo
varia entre -1 e 1, então:
- Quando
, temos (mínimo). - Quando
, temos (máximo).
Isso ocorre nos seguintes valores de
:
- Máximo em
e . - Mínimo em
e .
Convertendo de volta para
:
- Máximos em
e . - Mínimos em
e .
Resposta
Os valores extremos da função
são:
- Máximo:
nos pontos e . - Mínimo:
nos pontos e .
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma função qualquer com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tal que
e
seja um ponto crítico de
. Escreva uma expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau
de
em
.
Seja
uma função de duas variáveis com derivadas parciais de ordem
. Assuma que
e
e
. Mostre que
Seja
uma função, definida por
Analise os comportamentos dos pontos críticos de
.
Se a elipse
circunda a circunferência
, quais são os valores de
e
que minimizam a área da elipse?