Determine para quais valores de x em R a função f(x) dada a seguir é contínua: f(x) = { ( |3x^2 + 2x| / x ), se x ≠ 0; 1, se x = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de a função é contínua. A função dada é:
Nesse exercício, estamos trabalhando com continuidade de funções, que faz parte do estudo de cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como verificar a continuidade em diferentes pontos da função, especialmente onde a definição muda, que nesse caso é em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em : ou seja, existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso para a nossa função .

Passo 3

Vamos analisar a função para . A expressão é:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que é o valor absoluto de . Vamos fatorar na expressão dentro do valor absoluto:
Substituindo de volta em :
Agora, vamos analisar dois casos: e .
Para :
Como será positivo (porque ), temos:
Para :
  • (porque é negativo)
  • Precisamos ver o sinal de :
    • Se , então
    • Se , então
Vamos encontrar quando :
Então, para :
Substituindo de volta em :
Portanto, para todo , .

Passo 4

Agora que simplificamos para e vimos que , que é uma função linear contínua em todo o seu domínio, sabemos que a função é contínua para todos os .
O próximo passo é verificar a continuidade em , onde a definição da função muda.

Passo 5

Vamos verificar as três condições de continuidade em :
  1. A função está definida em :
Sim, está definida.
  1. O limite de quando se aproxima de existe:
Sabemos que para , . Então, calculamos:
  1. O limite é igual a :
Como , essa condição não é satisfeita.

Passo 6

Como uma das três condições de continuidade não foi atendida em (especificamente, o limite não é igual ao valor da função nesse ponto), concluímos que a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua para todos os reais , exceto em .

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