Determine para quais valores de
a função
dada a seguir é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de
a função
é contínua. A função dada é:
Nesse exercício, estamos trabalhando com continuidade de funções, que faz parte do estudo de cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como verificar a continuidade em diferentes pontos da função, especialmente onde a definição muda, que nesse caso é em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem atendidas:
- A função está definida em
: ou seja, existe. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso para a nossa função
.
Passo 3
Vamos analisar a função para
. A expressão é:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que
é o valor absoluto de
. Vamos fatorar
na expressão dentro do valor absoluto:
Substituindo de volta em
:
Agora, vamos analisar dois casos:
e
.
Para
:
Como
será positivo (porque
), temos:
Para
:
-
(porque é negativo) - Precisamos ver o sinal de
: - Se
, então - Se
, então
- Se
Vamos encontrar quando
:
Então, para
:
Substituindo de volta em
:
Portanto, para todo
,
.
Passo 4
Agora que simplificamos
para
e vimos que
, que é uma função linear contínua em todo o seu domínio, sabemos que a função
é contínua para todos os
.
O próximo passo é verificar a continuidade em
, onde a definição da função muda.
Passo 5
Vamos verificar as três condições de continuidade em
:
- A função está definida em
:
Sim, está definida.
- O limite de
quando se aproxima de existe:
Sabemos que para
,
. Então, calculamos:
- O limite é igual a
:
Como
, essa condição não é satisfeita.
Passo 6
Como uma das três condições de continuidade não foi atendida em
(especificamente, o limite não é igual ao valor da função nesse ponto), concluímos que a função não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua para todos os reais
, exceto em
.