2 pontos) Encontre a transformada de Laplace inversa de
usando a teoria da convolução.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função
utilizando a teoria da convolução. Para isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace inversa de funções simples e aplicar a propriedade de convolução para combinar esses resultados.
Passo 2
Vamos decompor
em duas partes que sejam mais fáceis de inverter. Podemos escrever:
Assim, identificamos duas funções:
Vamos encontrar as transformadas de Laplace inversas de
e
separadamente.
Passo 3
Primeiro, encontraremos a transformada inversa de
. Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de
. Podemos reescrever o denominador:
Isso se assemelha à forma da transformada de Laplace de funções trigonométricas. Sabemos que:
Para
, temos:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a teoria da convolução para encontrar
:
Substituindo
e
pela expressão encontrada:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos separar os termos:
Essas integrais são resolvidas por integração por partes ou utilizando tabelas de integrais conhecidas, resultando em expressões que combinam funções exponenciais e trigonométricas.
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é dada por:
Essa expressão representa a solução final utilizando a teoria da convolução.