2 pontos) Encontre a transformada de Laplace inversa de F(s) = 1 / ((s + 1)^2 * (s^4 + 4)) usando a teoria da convolução.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função utilizando a teoria da convolução. Para isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace inversa de funções simples e aplicar a propriedade de convolução para combinar esses resultados.

Passo 2

Vamos decompor em duas partes que sejam mais fáceis de inverter. Podemos escrever:
Assim, identificamos duas funções:
Vamos encontrar as transformadas de Laplace inversas de e separadamente.

Passo 3

Primeiro, encontraremos a transformada inversa de . Sabemos que:
Aplicando isso com :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de . Podemos reescrever o denominador:
Isso se assemelha à forma da transformada de Laplace de funções trigonométricas. Sabemos que:
Para , temos:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a teoria da convolução para encontrar :
Substituindo e pela expressão encontrada:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos separar os termos:
Essas integrais são resolvidas por integração por partes ou utilizando tabelas de integrais conhecidas, resultando em expressões que combinam funções exponenciais e trigonométricas.

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é dada por:
Essa expressão representa a solução final utilizando a teoria da convolução.

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