Determine os valores de
ou
para que as funções definidas por partes sejam contínuas em todo o intervalo designado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de
que faz com que essa função seja contínua em todo o intervalo, especialmente no ponto onde a definição muda, que é
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções por partes.
Passo 2
Para garantir que a função seja contínua em
, precisamos que o limite da função quando
se aproxima de
pela direita seja igual ao limite quando
se aproxima de
pela esquerda, e que ambos sejam iguais ao valor da função em
.
Matematicamente, isso significa:
Passo 3
Vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando
se aproxima de
por valores maiores que
:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando
se aproxima de
por valores menores ou iguais a
:
Substituindo
:
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, os dois limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função em
. Já sabemos que:
Portanto, temos:
Resposta
Resolvendo a equação acima:
O valor de
que torna a função contínua é
.
Exercícios relacionados
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
À medida que o foguete se afasta da superfície da Terra, há é uma distância
onde o foguete perde parte de sua massa, já que não precisa mais do excesso de armazenamento de combustível. Pode-se escrever esta função como:
Existe um valor
tal que esta função seja contínua, assumindo
?