Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função é contínua. A função é definida de duas formas:
Para verificar a continuidade, vamos precisar entender sobre limites e o que significa uma função ser contínua em um ponto específico.
Passo 2
Vamos primeiro analisar a continuidade em pontos onde . Nesse caso, a função é uma razão de duas funções contínuas (raízes quadradas e cúbicas são contínuas onde estão definidas), então é contínua para todo .
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 4
Calculando o limite:
Para resolver, podemos substituir , mas isso resulta em indeterminação . Então, vamos usar a expansão em série de Taylor ou fatorar o numerador e denominador.
Passo 5
Vamos racionalizar o numerador e denominador:
Para o numerador , multiplicamos por :
Para o denominador , usamos a identidade:
Substituindo na expressão do limite:
Passo 6
Agora, substituímos :
Então, o limite quando se aproxima de 1 é .
Passo 7
Comparando com o valor da função em :
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, a função é contínua em .