Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta: f(x) = { (1 - raiz(x)) / (1 - raiz(cube(x))), se x ≠ 1; 3 / 2, se x = 1 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função é contínua. A função é definida de duas formas:
Para verificar a continuidade, vamos precisar entender sobre limites e o que significa uma função ser contínua em um ponto específico.

Passo 2

Vamos primeiro analisar a continuidade em pontos onde . Nesse caso, a função é uma razão de duas funções contínuas (raízes quadradas e cúbicas são contínuas onde estão definidas), então é contínua para todo .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 4

Calculando o limite:
Para resolver, podemos substituir , mas isso resulta em indeterminação . Então, vamos usar a expansão em série de Taylor ou fatorar o numerador e denominador.

Passo 5

Vamos racionalizar o numerador e denominador:
Para o numerador , multiplicamos por :
Para o denominador , usamos a identidade:
Substituindo na expressão do limite:

Passo 6

Agora, substituímos :
Então, o limite quando se aproxima de 1 é .

Passo 7

Comparando com o valor da função em :
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua para todo , incluindo .

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