Determine os valores de k, c, A ou B para que as funções definidas por partes sejam contínuas em todo o intervalo designado
a) f(x) = { 2x - 2, se x < -1; Ax + B, se x ∈ [-1, 1]; 5x + 7, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa achar os valores de e para que essa função seja contínua em todo o intervalo dado. Isso envolve entender o que é continuidade e como garantir que as partes da função se conectem direitinho nos pontos onde mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, não pode ter “buracos” ou “saltos” no seu gráfico. No nosso caso, a função muda sua expressão em e em . Então, precisamos garantir que nesses pontos, as partes da função se encontrem sem quebrar.

Passo 3

Vamos começar analisando o ponto onde .
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao valor da função exatamente em .
A parte da função para é . Então, o limite pela esquerda é:
A parte da função para é . O valor da função em é:
Para continuidade:
Essa é nossa primeira equação.

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto onde .
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de pela direita deve ser igual ao valor da função exatamente em .
A parte da função para é . Então, o limite pela direita é:
A parte da função para é . O valor da função em é:
Para continuidade:
Essa é nossa segunda equação.

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo em :

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função são e .

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