Determine os valores de k (se existirem) para que o sistema
-x+2 y+k z & =1 k x+4 y-4 z & =2 2 x+y+z & =-2 k
seja possível determinado;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis , e . O objetivo é encontrar os valores de que fazem esse sistema ter uma única solução, ou seja, que seja determinado. Para isso, vamos usar o que chamamos de determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, então o sistema é determinado.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente de A = -1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1 , e em cada equação e colocar em uma matriz:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante é um número que nos ajuda a saber se o sistema tem solução única. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Onde os elementos da matriz são:

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz:
a = -1, b = 2, c = k d = k, e = 4, f = -4 g = 2, h = 1, i = 1
Então,
det(A) = -1 cdot (4 cdot 1 - (-4) cdot 1) - 2 cdot (k cdot 1 - (-4) cdot 2) + k cdot (k cdot 1 - 4 cdot 2)

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
det(A) = -1 cdot (4 + 4) - 2 cdot (k + 8) + k cdot (k - 8)
det(A) = -1 cdot 8 - 2 cdot (k + 8) + k(k - 8)
det(A) = -8 - 2k - 16 + k^2 - 8k

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
det(A) = k^2 - 10k - 24

Passo 7

Para que o sistema seja determinado, o determinante precisa ser diferente de zero:
k^2 - 10k - 24 neq 0
Vamos resolver essa inequação encontrando os valores de que tornam a expressão igual a zero e excluindo esses valores.

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática:
k^2 - 10k - 24 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-24)2 cdot 1 = 10 pm raiz100 + 962 = 10 pm raiz1962 = 10 pm 142
Então,
k = 10 + 142 = 12 ou k = 10 - 142 = -2

Passo 9

Portanto, para que o sistema seja determinado, k neq 12 e k neq -2 não pode ser esses valores. Ou seja,

Resposta

Os valores de k in R setminus -2, 12 para que o sistema seja determinado são todos os números reais menos e . Ou seja,

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