Determine os valores de (se existirem) para que o sistema
seja possível determinado;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis , e . O objetivo é encontrar os valores de que fazem esse sistema ter uma única solução, ou seja, que seja determinado. Para isso, vamos usar o que chamamos de determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, então o sistema é determinado.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente de , e em cada equação e colocar em uma matriz:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante é um número que nos ajuda a saber se o sistema tem solução única. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
Onde os elementos da matriz são:

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz:
Então,

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

Passo 7

Para que o sistema seja determinado, o determinante precisa ser diferente de zero:
Vamos resolver essa inequação encontrando os valores de que tornam a expressão igual a zero e excluindo esses valores.

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,

Passo 9

Portanto, para que o sistema seja determinado, não pode ser esses valores. Ou seja,

Resposta

Os valores de para que o sistema seja determinado são todos os números reais menos e . Ou seja,

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