Determine para quais valores de o conjunto é uma base de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de três vetores no espaço tridimensional :
Queremos descobrir para quais valores reais de esse conjunto forma uma base de . Ou seja, precisamos verificar quando esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos falar um pouco sobre linearidade. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Em termos de matrizes, isso significa que, se formarmos uma matriz com esses vetores como colunas, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero para que os vetores sejam independentes e, portanto, formem uma base.

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante nos dirá se os vetores são independentes (determinante diferente de zero) ou não (determinante igual a zero).
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, usaremos a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Substituindo na expressão do determinante:

Passo 5

Queremos que o determinante seja diferente de zero para que os vetores formem uma base. Portanto, resolvemos a inequação:
Podemos fatorar:
Ainda fatorando:
Isso nos mostra que o determinante é zero quando , ou . Portanto, para que o determinante seja diferente de zero:

Resposta

O conjunto é uma base de para todos os valores de tais que:

Exercícios relacionados

Mostre que os vetores e de um espaço vetorial são LI se, e somente se, os vetores e também o são.
Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .
Verifique se cada um dos subconjuntos é um subespaço vetorial do espaço vetorial : e .