Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .

Passo 1

Vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Queremos saber se a união de dois subespaços vetoriais, chamados e , dentro de um espaço vetorial , também é um subespaço. Para isso, precisamos entender o que define um subespaço e verificar se a união atende a esses critérios.

Passo 2

Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor zero deve estar no subespaço.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no subespaço, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no subespaço, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar se a união mantém essas propriedades.

Passo 3

Primeiro, a união certamente contém o vetor nulo, já que ambos os subespaços contêm o vetor zero. Mas vamos ver as outras propriedades.

Passo 4

Vamos verificar se a união é fechada sob adição. Suponha que temos um vetor e um vetor . A soma precisa estar na união para que a união seja fechada sob adição. Mas isso nem sempre acontece.

Passo 5

Para ilustrar, vamos considerar um exemplo concreto. Seja , o eixo x (todos os vetores da forma ) e o eixo y (todos os vetores da forma ). A união inclui apenas vetores que estão completamente no eixo x ou no eixo y.

Passo 6

Agora, pegue e . A soma deles é , que não está nem no eixo x nem no eixo y. Portanto, . Isso mostra que a união não é fechada sob adição.

Resposta

A afirmação é falsa. A união de dois subespaços vetoriais e nem sempre forma um subespaço de .

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Determine para quais valores de o conjunto é uma base de .
Mostre que os vetores e de um espaço vetorial são LI se, e somente se, os vetores e também o são.
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Encontre uma base para o subespaço : (derivada de ) e (segunda derivada de ).