Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se
e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(b) Se
Passo 1
Vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Queremos saber se a união de dois subespaços vetoriais, chamados
e
, dentro de um espaço vetorial
, também é um subespaço. Para isso, precisamos entender o que define um subespaço e verificar se a união
atende a esses critérios.
Passo 2
Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor nulo: O vetor zero deve estar no subespaço.
- Fechado sob adição: Se dois vetores estão no subespaço, a soma deles também deve estar.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no subespaço, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar se a união
mantém essas propriedades.
Passo 3
Primeiro, a união
certamente contém o vetor nulo, já que ambos os subespaços contêm o vetor zero. Mas vamos ver as outras propriedades.
Passo 4
Vamos verificar se a união é fechada sob adição. Suponha que temos um vetor
e um vetor
. A soma
precisa estar na união
para que a união seja fechada sob adição. Mas isso nem sempre acontece.
Passo 5
Para ilustrar, vamos considerar um exemplo concreto. Seja
,
o eixo x (todos os vetores da forma
) e
o eixo y (todos os vetores da forma
). A união
inclui apenas vetores que estão completamente no eixo x ou no eixo y.
Passo 6
Agora, pegue
e
. A soma deles é
, que não está nem no eixo x nem no eixo y. Portanto,
. Isso mostra que a união não é fechada sob adição.
Resposta
A afirmação é falsa. A união de dois subespaços vetoriais
e
nem sempre forma um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Determine para quais valores de
o conjunto
é uma base de
.
Mostre que os vetores
e
de um espaço vetorial
são LI se, e somente se, os vetores
e
também o são.
Verifique se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
:
e
.
Encontre uma base para o subespaço
:
(derivada de
) e
(segunda derivada de
).