Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se W1 e W2 são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então W1 cup W2 é subespaço de V.

Passo 1

Vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Queremos saber se a união de dois subespaços vetoriais, chamados W1 e W2, dentro de um espaço vetorial V, também é um subespaço. Para isso, precisamos entender o que define um subespaço e verificar se a união W1 cup W2 atende a esses critérios.

Passo 2

Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor zero deve estar no subespaço.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no subespaço, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no subespaço, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos verificar se a união W1 cup W2 mantém essas propriedades.

Passo 3

Primeiro, a união W1 cup W2 certamente contém o vetor nulo, já que ambos os subespaços contêm o vetor zero. Mas vamos ver as outras propriedades.

Passo 4

Vamos verificar se a união é fechada sob adição. Suponha que temos um vetor u in W1 e um vetor v in W2. A soma u + v precisa estar na união W1 cup W2 para que a união seja fechada sob adição. Mas isso nem sempre acontece.

Passo 5

Para ilustrar, vamos considerar um exemplo concreto. Seja V = R^2, W1 o eixo x (todos os vetores da forma (x, 0)) e W2 o eixo y (todos os vetores da forma (0, y)). A união W1 cup W2 inclui apenas vetores que estão completamente no eixo x ou no eixo y.

Passo 6

Agora, pegue u = (1, 0) in W1 e v = (0, 1) in W2. A soma deles é u + v = (1, 1), que não está nem no eixo x nem no eixo y. Portanto, (1, 1) notin W1 cup W2. Isso mostra que a união não é fechada sob adição.

Resposta

A afirmação é falsa. A união de dois subespaços vetoriais W1 e W2 nem sempre forma um subespaço de V.

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