Verifique se cada um dos subconjuntos é um subespaço vetorial do espaço vetorial : e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o espaço das polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . O conjunto é definido como . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição (se dois vetores estão em , a soma deles também está).
  3. é fechado sob multiplicação por escalares (se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está).
Vamos verificar cada um desses critérios para .

Passo 3

1. Vetor zero está em :
O vetor zero no espaço é o polinômio .
Vamos verificar se :
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Suponha que e estão em . Isso significa que:
Vamos verificar se também está em :
Logo, está em .

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Se está em e é um escalar, então:
Vamos verificar se está em :
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial do espaço .

Exercícios relacionados

Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .
Determine para quais valores de o conjunto é uma base de .
Encontre uma base para o subespaço : (derivada de ) e (segunda derivada de ).
Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.