Verifique se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V: V=P2 e W=p in V: p(0)=p(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o espaço das polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . O conjunto é definido como . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição (se dois vetores estão em , a soma deles também está).
  3. é fechado sob multiplicação por escalares (se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está).
Vamos verificar cada um desses critérios para .

Passo 3

1. Vetor zero está em p(0) = 0 e p(1) = 0 Rightarrow 0 = 0 :
O vetor zero no espaço é o polinômio .
Vamos verificar se :
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Suponha que p(0) = p(1) e q(0) = q(1) e (p + q)(0) = p(0) + q(0) = p(1) + q(1) = (p + q)(1) estão em . Isso significa que:
Vamos verificar se também está em :
Logo, está em .

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Se p(0) = p(1) está em (c cdot p)(0) = c cdot p(0) = c cdot p(1) = (c cdot p)(1) e é um escalar, então:
Vamos verificar se está em :
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial do espaço .

Exercícios relacionados