Verifique se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
é o espaço das polinômios de grau no máximo 2, ou seja,
. O conjunto
é definido como
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição (se dois vetores estão em , a soma deles também está). -
é fechado sob multiplicação por escalares (se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está).
Vamos verificar cada um desses critérios para
.
Passo 3
1. Vetor zero está em
:
O vetor zero no espaço
é o polinômio
.
Vamos verificar se
:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Suponha que
e
estão em
. Isso significa que:
Vamos verificar se
também está em
:
Logo,
está em
.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Se
está em
e
é um escalar, então:
Vamos verificar se
está em
:
Assim,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
.
Exercícios relacionados
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(b) Se
Determine para quais valores de
o conjunto
é uma base de
.
Encontre uma base para o subespaço
:
(derivada de
) e
(segunda derivada de
).
Mostre que os polinômios
e
formam uma base de
. Exprima o polinômio
como uma combinação linear desses polinômios.