Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares:
llm x+2 y+z & =-1 x-y+m z & =2 x+y+m z & =2.

Passo 1

Beleza! Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e , e um parâmetro . O objetivo é resolver esse sistema para descobrir os valores de , e em termos de . Para isso, vamos usar a método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar as soluções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
m x + 2 y + z = -1 (Equação 1) x - y + m z = 2 (Equação 2) x + y + m z = 2 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Nosso primeiro objetivo é eliminar uma das variáveis de duas das equações para facilitar a resolução. Vamos escolher eliminar (Equação 3) - (Equação 2) Rightarrow (x + y + m z) - (x - y + m z) = 2 - 2 das Equações 2 e 3. Para isso, podemos subtrair a Equação 2 da Equação 3:
2 y = 0 Rightarrow y = 0 çãçã
Simplificando:

Passo 4

Agora que sabemos que x - 0 + m z = 2 Rightarrow x + m z = 2 (Equação 2.1) , vamos substituir esse valor nas Equações 2 e 3 para encontrar uma relação entre m x + 2 cdot 0 + z = -1 Rightarrow m x + z = -1 (Equação 1.1) e .
Substituindo na Equação 2:
çã
Substituindo na Equação 1:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( m x + z = -1 (Equação 1.1) x + m z = 2 (Equação 2.1) e z = -1 - m x ):
x + m (-1 - m x) = 2 çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar a método da substituição. Da Equação 1.1, isolamos x - m - m^2 x = 2 :
x (1 - m^2) = 2 + m
Agora, substituímos esse valor de na Equação 2.1:
Simplificando:
Agrupando os termos com :

Passo 6

Agora, resolvemos para x = 2 + m1 - m^2 :
Observamos que o denominador não pode ser zero, ou seja, . Se , teremos uma situação especial que vamos analisar depois.

Passo 7

Com o valor de z = -1 - m x = -1 - m ( 2 + m1 - m^2 ) = -1 - m(2 + m)1 - m^2 encontrado, substituímos de volta na expressão para z = -1 + m(2 + m)m^2 - 1 = -1 - m(2 + m)1 - m^2 :
z = -(1 - m^2) - m(2 + m)1 - m^2 = -1 + m^2 - 2m - m^21 - m^2 = -1 - 2m1 - m^2
Simplificando a fração:
z = 1 + 2mm^2 - 1 = -1 + 2m1 - m^2
Portanto,
Então,

Passo 8

Recapitulando, temos:
y = 0
x = 2 + m1 - m^2
z = -1 + 2m1 - m^2
Essas são as soluções do sistema para .

Passo 9

Agora, vamos analisar o caso especial onde o denominador 1 cdot x + z = -1 x + 1 cdot z = 2 , ou seja, quando (1 cdot x + z) - (x + z) = -1 - 2 Rightarrow 0 = -3 ou -1 cdot x + z = -1 x -1 cdot z = 2 .
Caso 1: - x + z = -1 Rightarrow z = x -1
Substituindo x - (x -1) = 2 Rightarrow x - x +1 = 2 Rightarrow 1 = 2 nas Equações 1.1 e 2.1:
Percebemos que as duas equações são iguais se subtrairmos:
Isso é impossível, então não há solução para .
Caso 2:
Substituindo nas Equações 1.1 e 2.1:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso também é impossível, então não há solução para .

Resposta

Para todo valor de x = 2 + m1 - m^2, y = 0, z = -1 + 2m1 - m^2 diferente de e , as soluções do sistema são:
Para ou , o sistema não possui solução.

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