Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares: .
Passo 1
Beleza! Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e , e um parâmetro . O objetivo é resolver esse sistema para descobrir os valores de , e em termos de . Para isso, vamos usar a método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar as soluções passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
çãçãçã
Passo 3
Nosso primeiro objetivo é eliminar uma das variáveis de duas das equações para facilitar a resolução. Vamos escolher eliminar das Equações 2 e 3. Para isso, podemos subtrair a Equação 2 da Equação 3:
çãçã
Simplificando:
Passo 4
Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor nas Equações 2 e 3 para encontrar uma relação entre e .
Substituindo na Equação 2:
çã
Substituindo na Equação 1:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( e ):
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar a método da substituição. Da Equação 1.1, isolamos :
Agora, substituímos esse valor de na Equação 2.1:
Simplificando:
Agrupando os termos com :
Passo 6
Agora, resolvemos para :
Observamos que o denominador não pode ser zero, ou seja, . Se , teremos uma situação especial que vamos analisar depois.
Passo 7
Com o valor de encontrado, substituímos de volta na expressão para :
Simplificando a fração:
Portanto,
Então,
Passo 8
Recapitulando, temos:
Essas são as soluções do sistema para .
Passo 9
Agora, vamos analisar o caso especial onde o denominador , ou seja, quando ou .
Caso 1:
Substituindo nas Equações 1.1 e 2.1:
Percebemos que as duas equações são iguais se subtrairmos:
Isso é impossível, então não há solução para .
Caso 2:
Substituindo nas Equações 1.1 e 2.1:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso também é impossível, então não há solução para .
Resposta
Para todo valor de diferente de e , as soluções do sistema são: