O que deve satisfazer um operador linear para ser unitário?
Dê as condições.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre operadores lineares, especificamente um operador . A pergunta é: o que esse operador precisa satisfazer para ser unitário? Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, operadores lineares e o que significa um operador ser unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador linear é uma função que, além de mapear vetores de um espaço para ele mesmo, respeita duas propriedades importantes:
Adição: para quaisquer vetores em .
Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor em .
Passo 3
Agora, o que significa um operador ser unitário? Um operador linear é unitário se ele preserva o produto interno do espaço vetorial. Ou seja, para quaisquer vetores e em , temos:
Essa condição garante que as “distâncias” e os ângulos entre vetores são preservados pela transformação .
Passo 4
Além disso, um operador unitário tem uma propriedade importante relacionada ao seu inverso. O inverso de um operador , denotado por , é o operador que “desfaz” a ação de . Para ser unitário, seu inverso deve ser igual ao seu adjunto (ou conjugado transposto, caso estejamos trabalhando com espaços com estrutura complexa). Ou seja:
Essa relação é crucial porque garante que aplicar e depois (ou vice-versa) retorna o vetor original, mantendo a estrutura do espaço vetorial.
Passo 5
Resumindo o que discutimos, para um operador linear ser unitário, ele precisa satisfazer duas condições principais:
Preservação do produto interno:
O inverso de é igual ao seu adjunto:
Resposta
Um operador linear é unitário se e somente se:
Ele preserva o produto interno, ou seja, para todos os vetores em .