O que deve satisfazer um operador linear
para ser unitário?
Dê as condições.
Dê as condições.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão sobre operadores lineares, especificamente um operador
. A pergunta é: o que esse operador precisa satisfazer para ser unitário? Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, operadores lineares e o que significa um operador ser unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador linear
é uma função que, além de mapear vetores de um espaço
para ele mesmo, respeita duas propriedades importantes:
- Adição:
para quaisquer vetores em . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor em .
Passo 3
Agora, o que significa um operador ser unitário? Um operador linear
é unitário se ele preserva o produto interno do espaço vetorial. Ou seja, para quaisquer vetores
e
em
, temos:
Essa condição garante que as “distâncias” e os ângulos entre vetores são preservados pela transformação
.
Passo 4
Além disso, um operador unitário tem uma propriedade importante relacionada ao seu inverso. O inverso de um operador
, denotado por
, é o operador que “desfaz” a ação de
. Para
ser unitário, seu inverso deve ser igual ao seu adjunto (ou conjugado transposto, caso estejamos trabalhando com espaços com estrutura complexa). Ou seja:
Essa relação é crucial porque garante que aplicar
e depois
(ou vice-versa) retorna o vetor original, mantendo a estrutura do espaço vetorial.
Passo 5
Resumindo o que discutimos, para um operador linear
ser unitário, ele precisa satisfazer duas condições principais:
- Preservação do produto interno:
- O inverso de
é igual ao seu adjunto:
Resposta
Um operador linear
é unitário se e somente se:
- Ele preserva o produto interno, ou seja,
para todos os vetores em . - Seu inverso é igual ao seu adjunto, ou seja,
.