O que deve satisfazer um operador linear T: V V para ser unitário?
Dê as condições.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre operadores lineares, especificamente um operador . A pergunta é: o que esse operador precisa satisfazer para ser unitário? Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, operadores lineares e o que significa um operador ser unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador linear é uma função que, além de mapear vetores de um espaço para ele mesmo, respeita duas propriedades importantes:
  1. Adição: para quaisquer vetores em .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor em .

Passo 3

Agora, o que significa um operador ser unitário? Um operador linear lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<= é unitário se ele preserva o produto interno do espaço vetorial. Ou seja, para quaisquer vetores e em , temos:
Essa condição garante que as “distâncias” e os ângulos entre vetores são preservados pela transformação .

Passo 4

Além disso, um operador unitário tem uma propriedade importante relacionada ao seu inverso. O inverso de um operador T^-1 = T^dag>=r , denotado por , é o operador que “desfaz” a ação de . Para ser unitário, seu inverso deve ser igual ao seu adjunto (ou conjugado transposto, caso estejamos trabalhando com espaços com estrutura complexa). Ou seja:
Essa relação é crucial porque garante que aplicar e depois (ou vice-versa) retorna o vetor original, mantendo a estrutura do espaço vetorial.

Passo 5

Resumindo o que discutimos, para um operador linear lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<= para todos u, v in V ser unitário, ele precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Preservação do produto interno:
T^-1 = T^dag>=r
  1. O inverso de é igual ao seu adjunto:

Resposta

Um operador linear é unitário se e somente se:
  1. Ele preserva o produto interno, ou seja, para todos os vetores em .
  2. Seu inverso é igual ao seu adjunto, ou seja, .

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