Use indução para provar a desigualdade

Passo 1

Vamos resolver um exercício de prova por indução matemática. A questão pede para provar que a soma dos primeiros números naturais é menor que . Para isso, vamos precisar entender como funciona a prova por indução, que é uma técnica usada para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para .
Calculando a soma dos primeiros 1 número:
Calculando o lado direito da desigualdade para :
Então, temos:
A desigualdade é verdadeira para . Isso confirma a base da indução.

Passo 3

Hipótese de indução: Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos provar que, se a desigualdade vale para , então ela também vale para . Ou seja, precisamos mostrar que:
Primeiro, observe que:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo:
Agora, precisamos mostrar que:
Calculando o lado direito:
Então, precisamos verificar se:

Passo 5

Vamos expandir os quadrados e simplificar a expressão:
E o lado direito:
Portanto, temos:
O que mostra que a desigualdade é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo :

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