Use indução para provar a desigualdade
Passo 1
Vamos resolver um exercício de prova por indução matemática. A questão pede para provar que a soma dos primeiros
números naturais é menor que
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a prova por indução, que é uma técnica usada para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para
.
Calculando a soma dos primeiros 1 número:
Calculando o lado direito da desigualdade para
:
Então, temos:
A desigualdade é verdadeira para
. Isso confirma a base da indução.
Passo 3
Hipótese de indução: Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos provar que, se a desigualdade vale para
, então ela também vale para
. Ou seja, precisamos mostrar que:
Primeiro, observe que:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo:
Agora, precisamos mostrar que:
Calculando o lado direito:
Então, precisamos verificar se:
Passo 5
Vamos expandir os quadrados e simplificar a expressão:
E o lado direito:
Portanto, temos:
O que mostra que a desigualdade é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo
:
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diste 4 u.c. da origem.
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