Use indução para provar a desigualdade
1+2+3+cdots+n<(2 n+1)^28, n in N

Passo 1

Vamos resolver um exercício de prova por indução matemática. A questão pede para provar que a soma dos primeiros números naturais é menor que . Para isso, vamos precisar entender como funciona a prova por indução, que é uma técnica usada para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para 1 = 1 .
Calculando a soma dos primeiros 1 número:
(2 times 1 + 1)^28 = (3)^28 = 98 = 1.125
Calculando o lado direito da desigualdade para 1 < 1.125 :
Então, temos:
A desigualdade é verdadeira para . Isso confirma a base da indução.

Passo 3

Hipótese de indução: Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum número natural 1 + 2 + 3 + cdots + k < (2k + 1)^28 . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos provar que, se a desigualdade vale para 1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) < (2(k + 1) + 1)^28 , então ela também vale para 1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + cdots + k) + (k + 1) . Ou seja, precisamos mostrar que:
1 + 2 + 3 + cdots + k < (2k + 1)^28
Primeiro, observe que:
(1 + 2 + 3 + cdots + k) + (k + 1) < (2k + 1)^28 + (k + 1)
Pela hipótese de indução, sabemos que:
(2k + 1)^28 + (k + 1) <= (2(k + 1) + 1)^28
Então, substituindo:
(2(k + 1) + 1)^28 = (2k + 2 + 1)^28 = (2k + 3)^28
Agora, precisamos mostrar que:
(2k + 1)^28 + (k + 1) <= (2k + 3)^28
Calculando o lado direito:
Então, precisamos verificar se:

Passo 5

Vamos expandir os quadrados e simplificar a expressão:
(2k + 1)^28 + (k + 1) = 4k^2 + 4k + 18 + 8(k + 1)8 = 4k^2 + 4k + 1 + 8k + 88 = 4k^2 + 12k + 98
E o lado direito:
(2k + 3)^28 = 4k^2 + 12k + 98
Portanto, temos:
4k^2 + 12k + 98 = 4k^2 + 12k + 98
O que mostra que a desigualdade é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo 1 + 2 + 3 + cdots + n < (2n + 1)^28 :

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