Encontre um vetor em
que gere a interseção de
e
, onde
é o plano
e
é o espaço gerado pelos vetores
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no espaço tridimensional
:
- V: o plano
, que inclui todos os pontos onde a coordenada é zero. - W: o espaço gerado pelos vetores
e , ou seja, todas as combinações lineares desses dois vetores.
Nosso objetivo é encontrar um vetor que esteja na interseção de
e
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar um vetor qualquer que esteja em
. Como
é gerado por
e
, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Então, temos:
onde
e
são escalares.
Passo 3
Vamos calcular essa combinação linear:
Simplificando, obtemos:
Passo 4
Agora, sabemos que para um vetor estar no plano
, sua coordenada
deve ser zero. Então, vamos impor essa condição:
Isso nos dá uma equação para relacionar
e
.
Passo 5
Resolvendo a equação
para
, temos:
Agora, podemos substituir esse valor de
de volta nas coordenadas
e
do vetor
.
Passo 6
Substituindo
em
, temos:
E substituindo em
:
Então, nosso vetor fica:
Passo 7
Para encontrar um vetor específico na interseção, podemos escolher um valor para
. Vamos escolher
:
Resposta
Um vetor que gera a interseção de
e
é
.