Encontre um vetor em que gere a interseção de e , onde é o plano e é o espaço gerado pelos vetores e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no espaço tridimensional :
  • V: o plano , que inclui todos os pontos onde a coordenada é zero.
  • W: o espaço gerado pelos vetores e , ou seja, todas as combinações lineares desses dois vetores.
Nosso objetivo é encontrar um vetor que esteja na interseção de e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar um vetor qualquer que esteja em . Como é gerado por e , qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Então, temos:
onde e são escalares.

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear:
Simplificando, obtemos:

Passo 4

Agora, sabemos que para um vetor estar no plano , sua coordenada deve ser zero. Então, vamos impor essa condição:
Isso nos dá uma equação para relacionar e .

Passo 5

Resolvendo a equação para , temos:
Agora, podemos substituir esse valor de de volta nas coordenadas e do vetor .

Passo 6

Substituindo em , temos:
E substituindo em :
Então, nosso vetor fica:

Passo 7

Para encontrar um vetor específico na interseção, podemos escolher um valor para . Vamos escolher :

Resposta

Um vetor que gera a interseção de e é .

Exercícios relacionados

Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Mostre que o plano , isto é, em é gerado por:
Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram e um conjunto de dois vetores que geram .
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Determine para que valores de os vetores de abaixo são L.I. ou L.D.
e