Encontre um vetor em que gere a interseção de e , onde é o plano e é o espaço gerado pelos vetores e .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no espaço tridimensional :
V: o plano , que inclui todos os pontos onde a coordenada é zero.
W: o espaço gerado pelos vetores e , ou seja, todas as combinações lineares desses dois vetores.
Nosso objetivo é encontrar um vetor que esteja na interseção de e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar um vetor qualquer que esteja em . Como é gerado por e , qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Então, temos:
onde e são escalares.
Passo 3
Vamos calcular essa combinação linear:
Simplificando, obtemos:
Passo 4
Agora, sabemos que para um vetor estar no plano , sua coordenada deve ser zero. Então, vamos impor essa condição:
Isso nos dá uma equação para relacionar e .
Passo 5
Resolvendo a equação para , temos:
Agora, podemos substituir esse valor de de volta nas coordenadas e do vetor .
Passo 6
Substituindo em , temos:
E substituindo em :
Então, nosso vetor fica:
Passo 7
Para encontrar um vetor específico na interseção, podemos escolher um valor para . Vamos escolher :