Encontre um vetor em R^3 que gere a interseção de V e W, onde V é o plano x y e W é o espaço gerado pelos vetores (1,2,3) e (1,-1,1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no espaço tridimensional R^3:
  • V: o plano xy, que inclui todos os pontos onde a coordenada z é zero.
  • W: o espaço gerado pelos vetores (1,2,3) e (1,-1,1), ou seja, todas as combinações lineares desses dois vetores.
Nosso objetivo é encontrar um vetor que esteja na interseção de V e W. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar um vetor qualquer que esteja em W. Como W é gerado por (1,2,3) e (1,-1,1), qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Então, temos:
v = a cdot (1,2,3) + b cdot (1,-1,1)
onde a e b são escalares.

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear:
v = (a cdot 1 + b cdot 1, a cdot 2 + b cdot (-1), a cdot 3 + b cdot 1)
Simplificando, obtemos:
v = (a + b, 2a - b, 3a + b)

Passo 4

Agora, sabemos que para um vetor estar no plano xy, sua coordenada z deve ser zero. Então, vamos impor essa condição:
3a + b = 0
Isso nos dá uma equação para relacionar a e b.

Passo 5

Resolvendo a equação 3a + b = 0 para b, temos:
b = -3a
Agora, podemos substituir esse valor de b de volta nas coordenadas x e y do vetor v.

Passo 6

Substituindo b = -3a em x = a + b, temos:
x = a + (-3a) = -2a
E substituindo em y = 2a - b:
y = 2a - (-3a) = 5a
Então, nosso vetor fica:
v = (-2a, 5a, 0)

Passo 7

Para encontrar um vetor específico na interseção, podemos escolher um valor para a. Vamos escolher a = 1:
v = (-2 cdot 1, 5 cdot 1, 0) = (-2, 5, 0)

Resposta

Um vetor que gera a interseção de V e W é (-2, 5, 0).

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