Determine para que valores de k os vetores u=(k-3,5,4 k), v=(k, 0,2 k), w=(3,-5,-2 k) de R^3 são L.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir para quais valores de os vetores , e são linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao conceito de independência linear. Para isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para verificar isso, a gente monta uma matriz colocando os vetores como colunas e calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for zero, eles são dependentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores M = k - 3 & k & 3 5 & 0 & -5 4k & 2k & -2k , e como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a Regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a Regra de Sarrus aqui:
det(M) = (k-3)(0)(-2k) + k(-5)(4k) + 3(5)(2k) - 3(0)(4k) - (k-3)(-5)(2k) - k(5)(-2k)

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
det(M) = 0 + k(-5)(4k) + 3(5)(2k) - 0 - (k-3)(-5)(2k) - k(5)(-2k)
det(M) = -20k^2 + 30k + 10k(k-3) + 10k^2

Passo 6

Simplificando mais:
det(M) = -20k^2 + 30k + 10k^2 - 30k + 10k^2
det(M) = (-20k^2 + 10k^2 + 10k^2) + (30k - 30k)
det(M) = 0

Passo 7

O determinante da matriz é igual a zero para qualquer valor de . Isso significa que os vetores , e são sempre dependentes, independentemente do valor de .

Resposta

Os vetores , e não são linearmente independentes para nenhum valor de . Ou seja, não existem valores de que tornem esses vetores linearmente independentes.

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