Determine para que valores de os vetores de são L.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir para quais valores de os vetores , e são linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao conceito de independência linear. Para isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz formada por esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para verificar isso, a gente monta uma matriz colocando os vetores como colunas e calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for zero, eles são dependentes.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a Regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a Regra de Sarrus aqui:
O determinante da matriz é igual a zero para qualquer valor de . Isso significa que os vetores , e são sempre dependentes, independentemente do valor de .
Resposta
Os vetores , e não são linearmente independentes para nenhum valor de. Ou seja, não existem valores de que tornem esses vetores linearmente independentes.