Seja A=(2,-1). Determine uma equaçäo para descrewer as pontos X=(x, y) perterrcentes a reta raue passa por A e é perpendicular à dencēo dada pelo vetor u=(1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o ponto e queremos encontrar a equação de uma reta que passa por esse ponto e é perpendicular à direção dada pelo vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor determina a direção da reta original. Se queremos uma reta perpendicular a essa direção, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 3

O produto escalar de u cdot v = 1 cdot a + 3 cdot b = a + 3b com outro vetor a + 3b = 0 é dado por:
Queremos que esse produto seja zero:
Podemos escolher e , então um vetor perpendicular a é .

Passo 4

Agora que temos o vetor direção m = -13 = -13 da reta que buscamos, podemos determinar a inclinação (coeficiente angular) dessa reta. O coeficiente angular é dado pela razão entre as componentes e do vetor:
Isso significa que a reta tem inclinação de -1/3.

Passo 5

Com o ponto y - y1 = m(x - x1) e a inclinação y - (-1) = -13(x - 2) , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y + 1 = -13x + 23
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Para deixar a equação mais arrumadinha, vamos isolar y = -13x + 23 - 1 :
y = -13x - 13

Resposta

A equação da reta que passa por y = -13x - 13 e é perpendicular à direção dada pelo vetor é:

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