Sejam os wetores u=(2,3,-1) e v=(-1,3,4). Encortre um vetor w=(a, b, c) ortoxonal a amboss de módulo 1. Quantos existem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de álgebra linear, especificamente envolvendo vetores e produtos vetoriais. O que precisamos fazer aqui é encontrar um vetor w = (a, b, c) que seja ortogonal a ambos os vetores u = (2, 3, -1) e v = (-1, 3, 4), além de ter módulo (ou comprimento) igual a 1. Também vamos descobrir quantas soluções existem para esse problema.

Passo 2

Primeiro, lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, precisamos que w cdot u = 0 e w cdot v = 0. Além disso, o módulo de w deve ser 1, ou seja, |w| = 1.

Passo 3

Mas tem uma maneira mais fácil de encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores dados: usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é ortogonal a ambos os vetores originais. Então, vamos calcular u times v.

Passo 4

Para calcular o produto vetorial u times v, usamos a seguinte fórmula:
u times v = i & j & k 2 & 3 & -1 -1 & 3 & 4
Isso se expande para:
u times v = i(3 cdot 4 - (-1) cdot 3) - j(2 cdot 4 - (-1) cdot (-1)) + k(2 cdot 3 - 3 cdot (-1))

Passo 5

Agora, calculando cada componente:
i(12 + 3) - j(8 - 1) + k(6 + 3) = 15i - 7j + 9k
Então, o produto vetorial é:
u times v = (15, -7, 9)

Passo 6

Esse vetor (15, -7, 9) é ortogonal a ambos u e v. Mas precisamos que o vetor w tenha módulo 1. Para isso, vamos normalizar o vetor, ou seja, dividir cada componente pelo seu módulo.

Passo 7

Primeiro, calculamos o módulo de u times v:
|u times v| = raiz15^2 + (-7)^2 + 9^2 = raiz225 + 49 + 81 = raiz355

Passo 8

Agora, para normalizar, dividimos cada componente por raiz355:
w = ( 15raiz355, -7raiz355, 9raiz355 )

Passo 9

Mas isso não é tudo! O vetor w pode ser tanto na direção de u times v quanto na direção oposta. Portanto, existem duas soluções:
w1 = ( 15raiz355, -7raiz355, 9raiz355 )
w2 = ( -15raiz355, 7raiz355, -9raiz355 )

Resposta

Existem dois vetores ortogonais a u e v com módulo 1, dados por:
w1 = ( 15raiz355, -7raiz355, 9raiz355 )
w2 = ( -15raiz355, 7raiz355, -9raiz355 )

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