Sejam os wetores e . Encortre um vetor ortoxonal a amboss de módulo 1. Quantos existem?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de álgebra linear, especificamente envolvendo vetores e produtos vetoriais. O que precisamos fazer aqui é encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores e , além de ter módulo (ou comprimento) igual a 1. Também vamos descobrir quantas soluções existem para esse problema.
Passo 2
Primeiro, lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, precisamos que e . Além disso, o módulo de deve ser 1, ou seja, .
Passo 3
Mas tem uma maneira mais fácil de encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores dados: usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é ortogonal a ambos os vetores originais. Então, vamos calcular .
Passo 4
Para calcular o produto vetorial , usamos a seguinte fórmula:
Isso se expande para:
u times v = i(3 cdot 4 - (-1) cdot 3) - j(2 cdot 4 - (-1) cdot (-1)) + k(2 cdot 3 - 3 cdot (-1))
Passo 5
Agora, calculando cada componente:
i(12 + 3) - j(8 - 1) + k(6 + 3) = 15i - 7j + 9k
Então, o produto vetorial é:
u times v = (15, -7, 9)
Passo 6
Esse vetor (15, -7, 9) é ortogonal a ambos u e v. Mas precisamos que o vetor w tenha módulo 1. Para isso, vamos normalizar o vetor, ou seja, dividir cada componente pelo seu módulo.