Seja a oplanoque pastapor p=(3,-2,1) e petpendiculara vetor =(3,-1,5). Se X=(x, y, z) e a, j stifigue que P X perp u, Uthize este fato pana deduzir uma cquacao geral do plano a.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Queremos encontrar a equação geral desse plano. Para isso, vamos usar o fato de que o vetor que liga qualquer ponto do plano ao ponto é perpendicular a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser encontrada usando um ponto que está no plano e um vetor normal ao plano. Aqui, o vetor é o vetor normal, pois é perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, vamos considerar um ponto qualquer PX = (x - 3, y + 2, z - 1) pertencente ao plano. O vetor que liga a é dado por:
Esse vetor deve ser perpendicular a . Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre PX cdot u = (x - 3)(3) + (y + 2)(-1) + (z - 1)(5) = 0 e :
Isso nos dará uma equação que representa o plano.

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar essa equação:
3(x - 3) -1(y + 2) + 5(z - 1) = 0
3x - 9 - y - 2 + 5z - 5 = 0
3x - y + 5z - 16 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
3x - y + 5z - 16 = 0

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