Determine os valores de e em para que as matrizes e dadas sejam iguais:

Passo 1

Então, temos duas matrizes e que são iguais, e precisamos encontrar os valores de , e que fazem isso acontecer. Esse exercício está relacionado à Igualdade de Matrizes, que diz que duas matrizes são iguais se todas as suas entradas correspondentes forem iguais. Para resolver, vamos comparar cada elemento das duas matrizes e montar equações para encontrar , e .

Passo 2

Primeiro, vamos comparar os elementos que estão na primeira linha e primeira coluna das matrizes e . Na matriz , esse elemento é , e na matriz é 13. Então temos a equação:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o elemento que está na primeira linha e segunda coluna de ambas as matrizes. Em , esse elemento é 0, e em também é 0. Isso nos diz que:
Isso não nos fornece nenhuma informação nova, então vamos para o próximo elemento.

Passo 4

Em seguida, comparamos os elementos na segunda linha e primeira coluna. Na matriz , temos , e na matriz é 1. Assim, temos:
Essa é a nossa segunda equação, e já conseguimos determinar que vale 1.

Passo 5

Por último, vamos comparar os elementos na segunda linha e segunda coluna das matrizes. Em , temos , e em é 4. Então, temos a equação:
Essa é a nossa terceira equação.

Passo 6

Agora, precisamos resolver o sistema de equações formado pelas duas primeiras equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 7

Podemos resolver subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar :
Então, dividindo ambos os lados por 3:

Passo 8

Agora que sabemos que , substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar . Usando :

Resposta

Os valores que satisfazem as equações são:

Exercícios relacionados

Encontre os escalares e que satisfazem .
Mostre que o conjunto das matrizes com entradas reais, com a operação usual de adição e a multiplicação por escalar usual é um espaço vetorial real.
Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (d)
Suponha que e . Resolva a equação para encontrar e e concluir que a inversa de é