Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (d)

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. Esse método nos ajuda a encontrar os valores das incógnitas , e transformando o sistema em uma forma mais simples. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações matemáticas para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

O objetivo é ter 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima dela. Começamos com o primeiro elemento da primeira linha ( ) como nosso pivô. Para facilitar, vamos transformar esse pivô em 1 dividindo toda a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. O elemento na segunda linha e segunda coluna será nosso próximo pivô. Para torná-lo 1, dividimos a segunda linha por -2:

Passo 6

Queremos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna. Fazemos isso:
  • Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
  • Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
A matriz fica:

Passo 7

Finalmente, focamos na terceira coluna. O elemento na terceira linha e terceira coluna será nosso pivô. Para torná-lo 1, dividimos a terceira linha por -0.75:

Passo 8

Queremos zerar os elementos acima do pivô na terceira coluna:
  • Somamos à primeira linha:
  • Subtraímos da segunda linha:
Após essas operações, a matriz final é:

Resposta

A solução do sistema é:

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