Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (d) r2 x1+2 x2-x3=1 3 x1+x2-3 x3=1 -2 x1-x2+x3=0

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. Esse método nos ajuda a encontrar os valores das incógnitas , e transformando o sistema em uma forma mais simples. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações matemáticas para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
2 & 2 & -1 & | & 1 3 & 1 & -3 & | & 1 -2 & -1 & 1 & | & 0

Passo 3

O objetivo é ter 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima dela. Começamos com o primeiro elemento da primeira linha ( 1 & 1 & -0.5 & | & 0.5 3 & 1 & -3 & | & 1 -2 & -1 & 1 & | & 0 ) como nosso pivô. Para facilitar, vamos transformar esse pivô em 1 dividindo toda a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
    1 & 1 & -0.5 & | & 0.5 0 & -2 & -1.5 & | & -0.5 0 & 1 & 0 & | & 1
  • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. O elemento 1 & 1 & -0.5 & | & 0.5 0 & 1 & 0.75 & | & 0.25 0 & 1 & 0 & | & 1 na segunda linha e segunda coluna será nosso próximo pivô. Para torná-lo 1, dividimos a segunda linha por -2:

Passo 6

Queremos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna. Fazemos isso:
  • Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
    1 & 0 & -1.25 & | & 0.25 0 & 1 & 0.75 & | & 0.25 0 & 0 & -0.75 & | & 0.75
  • Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
A matriz fica:

Passo 7

Finalmente, focamos na terceira coluna. O elemento 1 & 0 & -1.25 & | & 0.25 0 & 1 & 0.75 & | & 0.25 0 & 0 & 1 & | & -1 na terceira linha e terceira coluna será nosso pivô. Para torná-lo 1, dividimos a terceira linha por -0.75:

Passo 8

Queremos zerar os elementos acima do pivô na terceira coluna:
  • Somamos 1 & 0 & 0 & | & -1.25 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & | & -1 à primeira linha:
  • Subtraímos da segunda linha:
Após essas operações, a matriz final é:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -1.25, x2 = 1, x3 = -1

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