Suponha que a d-b c neq 0, A=[lla & b c & d], A^-1=[ccx & y z & w] e I=[ll1 & 0 0 & 1]. Resolva a equação A A^-1=I para encontrar x, y, z e w e concluir que a inversa de A é
A^-1=[cc da d-b c & -ba d-b c -ca d-b c & aa d-b c ] ou A^-1=1a d-b c[rr d & -b -c & a ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação envolvendo matrizes! A questão fala sobre encontrar os elementos e da inversa da matriz . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para isso, precisamos entender como multiplicar matrizes e o que significa que , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes A = a & b c & d , A^-1 = x & y z & w , I = 1 & 0 0 & 1 e :

Passo 3

Sabemos que a multiplicação de duas matrizes A cdot A^-1 = a & b c & d cdot x & y z & w = a x + b z & a y + b w c x + d z & c y + d w e a x + b z & a y + b w c x + d z & c y + d w = 1 & 0 0 & 1 deve resultar na matriz identidade . Vamos fazer essa multiplicação:
Essa matriz resultante deve ser igual a , ou seja:

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Temos um sistema de equações que vamos resolver para encontrar .

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação 3:
c x + d z = 0 implies x = -dc z
Substituindo a ( -dc z ) + b z = 1 implies -a dc z + b z = 1 na equação 1:
z ( -a dc + b ) = 1 implies z = 1b - a dc = cb c - a d = -ca d - b c
Factorando :

Passo 6

Agora que temos x = -dc z = -dc cdot -ca d - b c = da d - b c , podemos encontrar :

Passo 7

Vamos resolver para c y + d w = 1 implies y = 1 - d wc e a ( 1 - d wc ) + b w = 0 implies ac - a dc w + b w = 0 usando a equação 2 e 4. Da equação 4:
a - a d w + b c w = 0 implies w (b c - a d) = -a implies w = aa d - b c
Substituindo na equação 2:
Multiplicando todos os termos por para eliminar o denominador:

Passo 8

Com y = 1 - d wc = 1 - d cdot aa d - b cc = (a d - b c) - a dc (a d - b c) = -b cc (a d - b c) = -ba d - b c encontrado, podemos voltar para encontrar :

Resposta

Portanto, os valores são:
x = da d - b c, y = -ba d - b c, z = -ca d - b c, w = aa d - b c
Assim, a matriz inversa de A^-1 = da d - b c & -ba d - b c -ca d - b c & aa d - b c é:
A^-1 = 1a d - b c d & -b -c & a
Ou, de forma equivalente:

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