Suponha que
e
. Resolva a equação
para encontrar
e
e concluir que a inversa de
é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação envolvendo matrizes! A questão fala sobre encontrar os elementos
e
da inversa da matriz
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para isso, precisamos entender como multiplicar matrizes e o que significa que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes
e
:
Passo 3
Sabemos que a multiplicação de duas matrizes
e
deve resultar na matriz identidade
. Vamos fazer essa multiplicação:
Essa matriz resultante deve ser igual a
, ou seja:
Passo 4
Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Temos um sistema de equações que vamos resolver para encontrar
.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação 3:
Substituindo
na equação 1:
Factorando
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Passo 7
Vamos resolver para
e
usando a equação 2 e 4. Da equação 4:
Substituindo
na equação 2:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Com
encontrado, podemos voltar para encontrar
:
Resposta
Portanto, os valores são:
Assim, a matriz inversa de
é:
Ou, de forma equivalente: