Suponha que e . Resolva a equação para encontrar e e concluir que a inversa de é

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação envolvendo matrizes! A questão fala sobre encontrar os elementos e da inversa da matriz . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para isso, precisamos entender como multiplicar matrizes e o que significa que , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes e :

Passo 3

Sabemos que a multiplicação de duas matrizes e deve resultar na matriz identidade . Vamos fazer essa multiplicação:
Essa matriz resultante deve ser igual a , ou seja:

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Temos um sistema de equações que vamos resolver para encontrar .

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Factorando :

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar :

Passo 7

Vamos resolver para e usando a equação 2 e 4. Da equação 4:
Substituindo na equação 2:
Multiplicando todos os termos por para eliminar o denominador:

Passo 8

Com encontrado, podemos voltar para encontrar :

Resposta

Portanto, os valores são:
Assim, a matriz inversa de é:
Ou, de forma equivalente:

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Sejam e bases ordenadas de . Deter .