Suponha que e . Resolva a equação para encontrar e e concluir que a inversa de é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação envolvendo matrizes! A questão fala sobre encontrar os elementos e da inversa da matriz . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para isso, precisamos entender como multiplicar matrizes e o que significa que , onde é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes e :
Passo 3
Sabemos que a multiplicação de duas matrizes e deve resultar na matriz identidade . Vamos fazer essa multiplicação:
Essa matriz resultante deve ser igual a , ou seja:
Passo 4
Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Temos um sistema de equações que vamos resolver para encontrar .
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Factorando :
Passo 6
Agora que temos , podemos encontrar :
Passo 7
Vamos resolver para e usando a equação 2 e 4. Da equação 4:
Substituindo na equação 2:
Multiplicando todos os termos por para eliminar o denominador: