sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita que é a soma de termos da forma . O conteúdo aqui envolve progressões geométricas e séries infinitas. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da soma de uma progressão geométrica e entender quando essa soma converge, ou seja, quando dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar melhor a progressão geométrica. A expressão 3^n+1(-2)^n = 3 cdot (3-2)^n pode ser reescrita assim:
sumn=0^infty 3 cdot (3-2)^n
Então, a nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da progressão geométrica. Na forma geral, uma PG tem a soma:
sumn=0^infty a cdot r^n
Onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão.
No nosso caso, e .

Passo 4

Para que a soma de uma progressão geométrica infinita converja (ou seja, dê um resultado finito), a razão |3-2| = 32 = 1,5 precisa satisfazer . Vamos verificar isso:
Como , a condição não é satisfeita.

Passo 5

Como a razão é maior que 1, a série não converge. Isso significa que a soma dos termos dessa série infinita cresce sem limite e não possui um valor final finito.

Resposta

A série não converge, ou seja, não tem uma soma finita.

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