Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = 1 + x * y - x - y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função , e depois determinar se cada ponto corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela. Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas parciais e critérios para identificar a natureza dos pontos críticos em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Calculamos as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, usamos o critério da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Calculamos as segundas derivadas:

Passo 5

Calculamos o determinante da matriz Hessiana, que é dado por:
Como , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é , que corresponde a um ponto de sela.

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