Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função
, e depois determinar se cada ponto corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela. Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas parciais e critérios para identificar a natureza dos pontos críticos em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, usamos o critério da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Calculamos as segundas derivadas:
Passo 5
Calculamos o determinante da matriz Hessiana, que é dado por:
Como
, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função
é
, que corresponde a um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Um médico prescreve um comprimido de antibiótico de 100 mg que deve ser tomado a cada 8 horas. Sabe-se que o corpo elimina
da droga em 8 horas.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
.