Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^3 * y + 3 * x + y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar todos os pontos críticos da função e depois verificar se esses pontos são máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente sobre derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Vamos resolver a equação (2) para encontrar o valor de :
Agora que temos , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico , precisamos determinar se ele é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico:
Substituindo e :

Passo 5

Interpretamos o valor de :
  • Se e , temos um mínimo relativo.
  • Se e , temos um máximo relativo.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é , que é um ponto de sela.

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