Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar todos os pontos críticos da função
e depois verificar se esses pontos são máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente sobre derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Vamos resolver a equação (2) para encontrar o valor de
:
Agora que temos
, vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar
:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico
, precisamos determinar se ele é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana
no ponto crítico:
Substituindo
e
:
Passo 5
Interpretamos o valor de
:
- Se
e , temos um mínimo relativo. - Se
e , temos um máximo relativo. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
, que é um ponto de sela.
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em graus Celsius em cada ponto da região
é dada por
. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.
Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
e
.
Determine
, com
, que maximiza a soma
.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: