Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. f(x, y) = 1 + 4x - 5y, D é a região triangular fechada com vértices (0,0),(2,0) e 0,3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro da região triangular , que tem os vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de otimização em regiões fechadas e analisar os pontos onde a função pode atingir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando: . Essa é uma função linear, ou seja, seu gráfico é um plano. Em funções lineares, não há máximos ou mínimos internos na região, então a gente precisa olhar só nas bordas e nos vértices do triângulo para encontrar os valores máximo e mínimo.

Passo 3

Vamos identificar as bordas do triângulo . Os vértices são , e . As bordas são os lados que ligam esses pontos: , e .

Passo 4

Vamos calcular a função em cada um dos vértices:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Passo 5

Agora, vamos analisar os valores obtidos nos vértices para determinar qual é o máximo e o mínimo:
Como a função é linear e os valores extremos ocorrem nos vértices, não precisamos olhar mais para as bordas.

Resposta

O valor máximo absoluto de na região é no ponto e o valor mínimo absoluto é no ponto .

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