Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos, mínimos locais e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos onde as derivadas parciais são zero e depois analisar a natureza desses pontos com a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde
e
.
De
:
Como
nunca é zero, temos duas possibilidades:
-
-
— mas isso não tem solução real, já que .
Então,
.
De
:
Novamente,
nunca é zero, então:
Já sabemos que
do primeiro caso. Se
, então
leva a
.
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda derivada para classificar esses pontos. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
,
e
.
Calculando:
Calculando isso, encontramos que
para todos os pontos críticos, já que envolve multiplicação por
ou
que são zero ou não afetam a simetria.
Passo 5
Usamos o discriminante da matriz Hessiana para classificar os pontos:
Para
:
Como
,
é um ponto de mínimo local.
Para
e
:
Como
, ambos são pontos de sela.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de mínimo local em
. - Dois pontos de sela em
e .