Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. f(x, y) = (x^2 + y^2) * e^(x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos, mínimos locais e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos onde as derivadas parciais são zero e depois analisar a natureza desses pontos com a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde e .
De :
Como nunca é zero, temos duas possibilidades:
  1. — mas isso não tem solução real, já que .
Então, .
De :
Novamente, nunca é zero, então:
Já sabemos que do primeiro caso. Se , então leva a .
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda derivada para classificar esses pontos. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais: , e .
Calculando:
Calculando isso, encontramos que para todos os pontos críticos, já que envolve multiplicação por ou que são zero ou não afetam a simetria.

Passo 5

Usamos o discriminante da matriz Hessiana para classificar os pontos:
Para :
Como , é um ponto de mínimo local.
Para e :
Como , ambos são pontos de sela.

Resposta

A função possui:
  • Um ponto de mínimo local em .
  • Dois pontos de sela em e .

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