Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e, para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Vamos passo a passo descobrir qual desses testes serve melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que, quando
fica bem grande,
se aproxima de
. Então,
.
Passo 3
Agora, substituindo essa aproximação na série, temos:
Isso simplifica a nossa série para algo que fica mais fácil de analisar.
Passo 4
Vamos agora analisar o termo geral
. Isso pode ser reescrito como
, que é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
e diverge se
.
Passo 5
No nosso caso,
. Como
, então
, que é menor que 1. Portanto, a série geométrica
converge.
Passo 6
Como a série original
se comporta de forma similar a uma série geométrica convergente, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.