Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty (1+1n)^2 ne^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e, para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Vamos passo a passo descobrir qual desses testes serve melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que, quando fica bem grande, se aproxima de . Então, .

Passo 3

Agora, substituindo essa aproximação na série, temos:
(1+1n)^2ne^n approx e^2e^n = e^2 - n
Isso simplifica a nossa série para algo que fica mais fácil de analisar.

Passo 4

Vamos agora analisar o termo geral . Isso pode ser reescrito como , que é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .

Passo 5

No nosso caso, . Como , então , que é menor que 1. Portanto, a série geométrica converge.

Passo 6

Como a série original se comporta de forma similar a uma série geométrica convergente, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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