Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de extremos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda à medida que uma variável varia, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos. Ponto crítico é onde a função pode ter um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Com o ponto crítico
identificado, vamos agora usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto. Precisamos calcular as derivadas segundas da função.
Calculando as segundas derivadas:
Passo 5
Vamos avaliar as segundas derivadas no ponto crítico
:
Primeiro, calculamos
em
:
Agora, substituímos na expressão das segundas derivadas:
Passo 6
Com as segundas derivadas calculadas, vamos determinar o determinante da matriz Hessiana:
Como
e
, isso significa que o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
. Não há valores máximos ou pontos de sela.