Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. f(x, y) = ln(3*x^2 + 4*y^2 - 2*x + 7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de extremos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda à medida que uma variável varia, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos. Ponto crítico é onde a função pode ter um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Com o ponto crítico identificado, vamos agora usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto. Precisamos calcular as derivadas segundas da função.
Calculando as segundas derivadas:

Passo 5

Vamos avaliar as segundas derivadas no ponto crítico :
Primeiro, calculamos em :
Agora, substituímos na expressão das segundas derivadas:

Passo 6

Com as segundas derivadas calculadas, vamos determinar o determinante da matriz Hessiana:
Como e , isso significa que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto . Não há valores máximos ou pontos de sela.

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