Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto
é a região triangular fechada com vértices
e
. ( 20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
dentro de um triângulo definido pelos vértices
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função
tem algum ponto crítico dentro do triângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero:
Então, o ponto crítico é
. Agora precisamos verificar se esse ponto está dentro do triângulo.
Passo 3
Vamos verificar se
está dentro do triângulo definido pelos vértices
,
e
. Observando as coordenadas, vemos que
está entre 0 e 3, e
está entre -1 e 2, então o ponto está dentro da região D.
Agora, calculamos o valor de
nesse ponto:
Passo 4
Agora, vamos analisar a função nas arestas do triângulo para encontrar possíveis valores máximos e mínimos.
Aresta 1: de
a
Parametrizamos essa aresta como
.
Substituímos na função
:
Derivamos em relação a
, encontramos os pontos críticos e calculamos os valores nas extremidades.
Aresta 2: de
a
Aqui,
. Então, a função simplifica para:
Variando
de -1 a 2, o mínimo é 0 em
e o máximo é 4 em
e
.
Aresta 3: de
a
Parametrizamos essa aresta como
.
Substituímos na função
:
Novamente, derivamos em relação a
, encontramos os pontos críticos e calculamos os valores nas extremidades.
Resposta
Após calcular todos os valores, encontramos que o valor mínimo absoluto de
na região D é -1, atingido no ponto
, e o valor máximo absoluto é 4, atingido nos pontos
e
.
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Seja
a relação em
dada por
e seja
a relação em
dada por
Prove que
.
Explique o intervalo de convergência e prove que: (10 pontos)
Mostre que o elipsoide
e a esfera
possuem vetores normais linearmente dependentes ( 15 pontos)
OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.
OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.
Seja
uma função e seja
a relação em
definida por
. Prove que
é uma relação de equivalência.