Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto é a região triangular fechada com vértices e . ( 20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro de um triângulo definido pelos vértices , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função tem algum ponto crítico dentro do triângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais de e igualamos a zero:
Então, o ponto crítico é . Agora precisamos verificar se esse ponto está dentro do triângulo.

Passo 3

Vamos verificar se está dentro do triângulo definido pelos vértices , e . Observando as coordenadas, vemos que está entre 0 e 3, e está entre -1 e 2, então o ponto está dentro da região D.
Agora, calculamos o valor de nesse ponto:

Passo 4

Agora, vamos analisar a função nas arestas do triângulo para encontrar possíveis valores máximos e mínimos.
Aresta 1: de a
Parametrizamos essa aresta como .
Substituímos na função :
Derivamos em relação a , encontramos os pontos críticos e calculamos os valores nas extremidades.
Aresta 2: de a
Aqui, . Então, a função simplifica para:
Variando de -1 a 2, o mínimo é 0 em e o máximo é 4 em e .
Aresta 3: de a
Parametrizamos essa aresta como .
Substituímos na função :
Novamente, derivamos em relação a , encontramos os pontos críticos e calculamos os valores nas extremidades.

Resposta

Após calcular todos os valores, encontramos que o valor mínimo absoluto de na região D é -1, atingido no ponto , e o valor máximo absoluto é 4, atingido nos pontos e .

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